Wypływ ze zbiornika — zadanie: prawo Torricellego

Rozwiązanie

1. Wybieramy dwa punkty i poziom zerowy

Punkt 1 leży na swobodnej powierzchni wody, punkt 2 w strudze przy wylocie. Za zero wysokości przyjmujemy poziom wylotu. Wtedy h₁ = 1,8 m i h₂ = 0. W obu punktach p = p_atm, a prędkość powierzchni dużego zbiornika jest pomijalna.

2. Upraszczamy bilans, nie pomijając atmosfery bez powodu

p_{\mathrm{atm}}+\rho gH=p_{\mathrm{atm}}+\frac{\rho v^2}{2}.

Odejmujemy ciśnienie atmosferyczne po obu stronach i dzielimy przez dodatnią gęstość. Pozostaje gH = v²/2. Prędkość wypływu jest dodatnią wartością pierwiastka:

v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot10\cdot1{,}8}=6\ \mathrm{m/s}.

Odpowiedź: idealna prędkość wypływu wynosi 6 m/s. Jednostka pod pierwiastkiem to m²/s², więc wynik ma jednostkę m/s. Woda nie zyskuje tej energii z samego faktu istnienia otworu: maleje jej energia potencjalna.

3. Czterokrotnie mniejsza wysokość

Nowe H = 0,45 m stanowi jedną czwartą poprzedniego. Kwadrat prędkości także maleje czterokrotnie, a sama prędkość dwukrotnie: √(2 · 10 · 0,45) = 3 m/s. Nowa chwilowa prędkość wynosi 3 m/s. Przy opróżnianiu zbiornika nie wolno traktować 6 m/s jako stałej przez cały proces.

4. Od szybkości do ilości wypływającej wody

Efektywne pole strugi 0,50 cm² to 0,000050 m². Przy pierwotnej szybkości 6 m/s otrzymujemy Q = Sv = 0,00030 m³/s = 0,30 l/s. Początkowe natężenie przepływu wynosi 0,30 l/s. Podane pole należy do rzeczywistego przekroju strugi w przyjętym modelu, więc nie trzeba utożsamiać go z polem ostrokrawędziowego otworu.

Model pomija lepkość, straty na wylocie i zmianę poziomu podczas krótkiego rozpatrywanego przedziału. Wynik nie jest obietnicą dokładnego pomiaru dla dowolnego kranu czy naczynia. Do obliczenia całego czasu opróżniania potrzebny byłby zmieniający się poziom oraz geometria zbiornika.

Dlaczego wykres szybkości się wypłaszcza?

Od H=0,45 m do H=1,8 m wysokość rośnie o czynnik cztery, lecz szybkość tylko o czynnik dwa. Przy stałym g wykres v(H) jest pierwiastkiem. Jego coraz mniejsze nachylenie nie oznacza, że woda przyspiesza coraz mniej podczas jednego wypływu: na osi poziomej nie ma czasu. Porównujemy różne wysokości wody i odpowiadające im chwilowe szybkości. Do obliczenia czasu całego opróżniania potrzebowalibyśmy także pola zbiornika i zmiany H w czasie; samo połączenie dwóch punktów prostą tego nie zastępuje.

Powiązana teoria

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego w zwężce

Dalsza lektura

Materiał referencyjny