Przepływ — zadanie: prędkość i ciśnienie w zwężce

Rozwiązanie

1. Najpierw ciągłość

Woda nie gromadzi się w odcinku ani nie ucieka bokiem. Gęstość jest stała, dlatego tyle samo objętości przechodzi przez oba przekroje w sekundę. Pole maleje czterokrotnie, więc prędkość rośnie czterokrotnie:

v_2=v_1\frac{S_1}{S_2}=1{,}5\cdot\frac{8}{2}=6\ \mathrm{m/s}.

2. Ciśnienie z bilansu energii

Przewód jest poziomy, więc składniki ρgh się skracają. Ciśnienie początkowe przeliczamy na 200 000 Pa. Odejmujemy różnicę składników kinetycznych:

p_2=200\,000-\frac{1000}{2}(6^2-1{,}5^2)=183\,125\ \mathrm{Pa}.

Odpowiedź: prędkość wynosi 6 m/s, a ciśnienie bezwzględne 183,125 kPa. To około 183,1 kPa. Prędkość wzrosła, a ciśnienie zmalało, zgodnie z bilansem dla poziomego odcinka bez strat. Nie odejmujemy samych prędkości: energia kinetyczna zawiera ich kwadraty.

3. Prędkość nie jest natężeniem przepływu

Pole 8 cm² wynosi 0,0008 m². Mamy Q = 0,0008 · 1,5 = 0,0012 m³/s = 1,2 l/s. Sprawdzenie drugiego przekroju: 0,0002 · 6 daje tę samą wartość. Naczynie 12 l napełni się w czasie 12/1,2 = 10 s, jeśli przepływ przez cały czas pozostaje taki sam. Nie dzielimy litrów przez m/s.

4. Ten sam przekrój na większej wysokości

Między zwężką a punktem wyżej pole się nie zmieniło, więc ciągłość daje tę samą prędkość 6 m/s. W bilansie energii zmienia się tylko wysokość i ciśnienie. Wzrost energii potencjalnej na objętość wynosi ρgΔh = 1000 · 10 · 2 = 20 000 Pa.

Ciśnienie 2 m wyżej wynosi 163,125 kPa. W tym porównaniu ciśnienie maleje mimo niezmienionej prędkości. Hasło „ciśnienie zależy tylko od szybkości” byłoby więc błędne. W rzeczywistym przewodzie do spadku związanego z wysokością mogłyby dojść straty przepływu.

Trzy przekroje, ten sam bilans

Obierzmy za zero wysokość pierwszych dwóch przekrojów. W trzecim człon ρgh ma wartość 20 kPa. Suma 163,125+18+20=201,125 kPa zgadza się z 200+1,125+0 oraz 183,125+18+0. Nie zmalała całkowita energia mechaniczna na objętość w tym modelu; zmieniły się jej składniki. Wspólna skala słupków zapobiega błędnemu wnioskowi, że ten sam spadek ciśnienia musi za każdym razem oznaczać wzrost szybkości.

Powiązana teoria

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego w zwężce

Dalsza lektura

Materiał referencyjny