Zderzenia: zachowanie pędu nie oznacza zachowania energii kinetycznej

Potrzebne wiadomości: Pęd, energia kinetyczna, równania liniowe i bilans energii.

Jedno zdarzenie, dwa różne bilanse

Gdy dwa wózki zderzą się i połączą, poruszają się później razem. Nie możemy przyjąć, że ich energia kinetyczna jest automatycznie zachowana tylko dlatego, że trwało to krótko. Krótki czas kontaktu pozwala często pominąć impuls zewnętrzny. To uzasadnia zachowanie pędu całego układu, a nie zachowanie energii kinetycznej. Podczas odkształcenia i tarcia wewnętrznego energia może przechodzić do innych postaci, choć całkowity pęd pozostaje taki sam.

Wybierzmy oba zderzające się ciała jako układ. Ich wzajemne siły kontaktu są wewnętrzne i w prostym modelu mechanicznym wnoszą przeciwne impulsy. Jeżeli zewnętrzny impuls jest pomijalny, m₁v₁+m₂v₂ = m₁u₁+m₂u₂. Litery v oznaczają prędkości przed zdarzeniem, u po nim. W jednym wymiarze są to składowe ze znakami. Bez dodatkowego warunku jedno równanie nie wystarczy do wyznaczenia dwóch nieznanych prędkości końcowych.

Najpierw pęd całego układu

Podczas krótkiego zderzenia pomijamy impuls zewnętrzny tylko wtedy, gdy jest mały wobec impulsów oddziaływania między ciałami. Dla ruchu wzdłuż osi zapisujemy m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2, zachowując znaki składowych prędkości. Jedno równanie nie wyznacza dwóch nieznanych prędkości bez dodatkowej informacji.

Gdy ciała łączą się, mają wspólną prędkość u=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2). To zderzenie doskonale niesprężyste. Część energii kinetycznej przechodzi w odkształcenia, drgania i energię wewnętrzną. Całkowita energia nie przestaje być zachowana.

Sprężystość i względna szybkość

W zderzeniu sprężystym zachowujemy także sumę energii kinetycznych. Dla jednowymiarowego zderzenia można zamiast tego użyć warunku odwrócenia względnej prędkości. Współczynnik restytucji e określa stosunek szybkości oddalania do szybkości zbliżania wzdłuż linii zderzenia. Dla typowego pasywnego zderzenia 0≤e≤1, przy czym e = 1 opisuje przypadek sprężysty.

Dwa jednakowe wózki: jeden z szybkością 3 m/s, drugi nieruchomy, po sprężystym czołowym zderzeniu zamieniają się prędkościami. Nie jest to ogólna reguła dla nierównych mas, poślizgu bocznego czy odkształceń. Po znalezieniu prędkości warto niezależnie policzyć pęd i energię, zamiast uznawać samo rozwiązanie równania za kontrolę fizyki.

Pęd całkowity wynosi 3 kg·m/s przed i po kontakcie. Energia kinetyczna maleje z 13,5 J do 1,5 J. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Co dopowiada rodzaj zderzenia?

W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała łączą się, więc u₁ = u₂ = u. Podstawienie daje u = (m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂). W zderzeniu sprężystym zachowana jest dodatkowo suma energii kinetycznych. Dla czołowego zderzenia w jednym wymiarze można zamiast kwadratowego równania energii użyć warunku odwrócenia prędkości względnej: u₂−u₁ = v₁−v₂, przy odpowiednio uporządkowanych ciałach. Warunek opisuje rozdzielanie po rzeczywistym kontakcie.

Pomiędzy tymi przypadkami stosujemy współczynnik restytucji e = (u₂−u₁)/(v₁−v₂), gdy ciało 1 dogania ciało 2 i mianownik jest dodatni. W zwykłym pasywnym modelu 0≤e≤1. Przy e = 0 względna prędkość końcowa jest zerowa, przy e = 1 energia kinetyczna jest zachowana w jednowymiarowym izolowanym układzie dwóch ciał. Wartości pośrednie oznaczają stratę części energii ruchu względnego. e nie jest procentem zachowanej całkowitej energii kinetycznej.

Przykład: wózki z rzepem

Wózek 2 kg jedzie z +3 m/s, a wózek 1 kg z −3 m/s. Ich pędy to +6 i −3 kg·m/s, razem +3 kg·m/s. Po sklejeniu masa wynosi 3 kg, więc u = 1 m/s w dodatnim zwrocie. Energia początkowa to 9+4,5 = 13,5 J. Końcowa to 3·1²/2 = 1,5 J. Spadek wynosi 12 J. Nie wolno odejmować energii drugiego wózka ze względu na ujemną prędkość: kwadrat ujemnej liczby jest dodatni.

Wspólna prędkość leży pomiędzy prędkościami początkowymi. Jest średnią ważoną masami, a nie zwykłą średnią arytmetyczną, chyba że masy są równe. Gdy oba wózki przed kontaktem jadą z tą samą prędkością, nie ma zbliżania i model nie powinien przewidywać spadku energii od samego „połączenia”. Sprawdzenie tego przypadku pomaga odróżnić poprawny wzór od przypadkowego dopasowania do liczb.

Przykład: część sprężystości, dwie niewiadome

Ciało 1 kg jadące 4 m/s dogania nieruchome ciało 2 kg, a e = 0,50. Pęd daje u₁+2u₂ = 4. Warunek względnych prędkości daje u₂−u₁ = 2. Z drugiego u₁ = u₂−2; po podstawieniu do pierwszego otrzymujemy 3u₂ = 6, więc u₂ = 2 m/s i u₁ = 0. Energia zmalała z 8 do 4 J. Zachowała się połowa energii w tym konkretnym zestawie mas i prędkości, ale nie wynika to z ogólnej reguły „e równa się sprawność”.

Dla równych mas i e = 1, gdy drugi wózek stoi, rzeczywiste zderzenie daje wymianę prędkości: pierwszy staje, drugi przejmuje jego prędkość. Same równania zachowania pędu i energii dopuszczają też rozwiązanie niezmienionych prędkości. Ono odpowiada brakowi rozpraszania, a nie opisanemu kontaktowi z rozdzieleniem. Warunek zbliżania przed i oddalania po zdarzeniu wybiera właściwą gałąź.

Zderzenie i dalszy ruch to dwa etapy

Plastelina 0,020 kg lecąca 10 m/s przykleja się do ciężarka 0,180 kg. Podczas krótkiego kontaktu w dolnym położeniu wahadła pomijamy poziomy impuls zewnętrzny: wspólna szybkość wynosi 1 m/s. Energia kinetyczna spada wtedy z 1 J do 0,10 J. Dopiero później, przy idealnym wznoszeniu, te 0,10 J zamienia się w energię potencjalną. Dla łącznej masy 0,20 kg i g = 10 m/s² wysokość wynosi 0,050 m.

Nie wolno użyć całego początkowego 1 J do wyznaczenia wysokości, bo 9/10 tej energii kinetycznej już podczas zderzenia przeszło do innych postaci. Nie wolno też zachowywać poziomego pędu przez cały łuk wahadła: naprężona nić ma później poziomą składową siły. Każde prawo ma tutaj własny etap i uzasadnienie. Długość nici pozwala dodatkowo sprawdzić, że wysokość jest geometrycznie możliwa.

Sprawdź się: po zderzeniu ubyło energii kinetycznej, ale suma pędów się zgadza. Czy to dowód błędu? Odpowiedź: nie. To zwykła możliwość w zderzeniu niesprężystym. Błędem byłaby ujemna energia kinetyczna albo zmiana pędu izolowanego układu bez wyjaśnionego impulsu zewnętrznego. Zawsze porównuj pęd z pędem w kg·m/s i energię z energią w J, zamiast mieszać te wielkości w jednej sumie.

Energia ruchu środka masy i energia zbliżania

Dla dwóch mas w jednym wymiarze wprowadźmy M=m_1+m_2,\quad V=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{M},\quad w=v_1-v_2,\quad\mu=\frac{m_1m_2}{M}. Litera μ oznacza tutaj masę zredukowaną, nie współczynnik tarcia. Z tych definicji wynika v_1=V+\frac{m_2}{M}w,\qquad v_2=V-\frac{m_1}{M}w. Po podstawieniu do sumy mv²/2 wyrazy mieszane znoszą się i zostaje E_k=\frac{MV^2}{2}+\frac{\mu w^2}{2}.

Pierwszy składnik opisuje wspólny ruch całego układu. Gdy impuls zewnętrzny pomijamy, V się nie zmienia. Drugi składnik jest energią ruchu względnego. W jednowymiarowym modelu restytucji po kontakcie względna prędkość zmienia zwrot, a jej wartość jest e razy mniejsza. Energia tej części wynosi więc e² energii względnej sprzed kontaktu.

Dostajemy dodatni ubytek energii kinetycznej E_{k,\mathrm{przed}}-E_{k,\mathrm{po}}=\frac{\mu}{2}(1-e^2)(v_1-v_2)^2. Dla m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg, v₁ = 4 m/s, v₂ = 0 i e = 0,50 mamy μ = 2/3 kg i stratę (1/3)·(3/4)·16 = 4 J. Ten niezależny rachunek odtwarza wynik układu dwóch równań. Wzór dotyczy opisanego jednowymiarowego modelu; nie zastępuje osobnego bilansu obrotu czy ruchu poprzecznego.

Zadania do tego tematu

• Sklejające się wózki jadące początkowo w przeciwne strony
• Jednakowe wózki w sprężystym zderzeniu czołowym
• Zderzenie z podanym współczynnikiem restytucji
• Plastelina trafia w wahadło: osobno zderzenie, osobno wznoszenie

Dalsza lektura

Materiał referencyjny