Zderzenie z podanym współczynnikiem restytucji

Rozwiązanie

Współczynnik restytucji dotyczy prędkości względnej

Ciało 1 kg dogania ciało 2 kg z względną szybkością 4 m/s. Po zderzeniu względna szybkość oddalania ma wynosić e razy tyle, czyli 2 m/s. Nie oznacza to od razu połowy prędkości każdego ciała ani połowy całej energii. Drugim niezależnym warunkiem jest zachowanie pędu przy pomijalnym impulsie zewnętrznym.

Rozwiązujemy układ

u_1+2u_2=4,\qquad u_2-u_1=2.

Z drugiego równania u₁ = u₂−2. Po podstawieniu do pierwszego 3u₂−2 = 4, zatem u₂ = 2 m/s i u₁ = 0. Końcowa różnica 2−0 = 2 m/s potwierdza, że ciała rozdzielają się, a jej stosunek do początkowych 4 m/s wynosi podane 0,50.

Wynik i jego znaczenie

Równania mają postać u_1+2u_2=4 oraz u_2-u_1=2. Otrzymujemy u₁ = 0 i u₂ = 2 m/s. Energia początkowa wynosi 8 J, końcowa 4 J, więc maleje o 4 J. Nie można było równocześnie narzucić zachowania energii kinetycznej, ponieważ e jest mniejsze od jedności.

Energię liczymy, zamiast z góry zachowywać

Początkowo tylko pierwsze ciało ma energię: 1·4²/2 = 8 J. Po kontakcie energia wynosi 1·0²/2+2·2²/2 = 4 J, więc ΔEₖ = −4 J. Końcowy pęd 2·2 = 4 kg·m/s zgadza się z początkowym. W tym konkretnym zestawie połowa energii została w ruchu, lecz nie jest to ogólna interpretacja e = 0,50. Współczynnik określa stosunek względnych prędkości; udział utraconej całkowitej energii zależy też od mas i ruchu środka masy. Narzucenie dodatkowo zachowania energii kinetycznej byłoby sprzeczne z podanym niesprężystym modelem.

Jaka część ruchu względnego pozostała?

Środek masy ma prędkość 4/3 m/s i energię ruchu całego układu 8/3 J. Początkowa energia względna wynosi 8−8/3 = 16/3 J, końcowa 4−8/3 = 4/3 J. Jej stosunek to 1/4 = e². To pokazuje poprawny związek restytucji z energią w tym modelu: kwadrat e dotyczy ruchu względnego, a nie całej energii w dowolnym układzie odniesienia. Weryfikacja odtwarza stratę 4 J i wyjaśnia, dlaczego skrót „e to procent energii” jest mylący.

Powiązana teoria

Zderzenia: zachowanie pędu nie oznacza zachowania energii kinetycznej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny