Sklejające się wózki jadące początkowo w przeciwne strony

Rozwiązanie

Układ obejmuje oba wózki

Impuls zewnętrzny jest pomijalny, więc zachowujemy sumę pędów. Siły podczas zderzenia są duże, ale wzajemne; nie trzeba znać ich czasu ani przebiegu, aby porównać stany przed i po. Sklejenie daje dodatkowy warunek jednej wspólnej prędkości u. Nie narzucamy zachowania energii kinetycznej, bo opisano zderzenie doskonale niesprężyste.

Najpierw pęd, potem energia

2\cdot3+1\cdot(-3)=(2+1)u,\qquad u=1\ \mathrm{m/s}.

W pędzie znak ujemnej prędkości pozostaje ujemny. W energii kwadrat tej samej prędkości jest dodatni. Energie obliczamy osobno, z dodatnich kwadratów składowych:

E_{k,1}=\frac{(2\ \mathrm{kg})(3\ \mathrm{m/s})^2}{2}+\frac{(1\ \mathrm{kg})(-3\ \mathrm{m/s})^2}{2}=13{,}5\ \mathrm J.

E_{k,2}=\frac{(3\ \mathrm{kg})(1\ \mathrm{m/s})^2}{2}=1{,}5\ \mathrm J.

Indeksy 1 i 2 oznaczają tutaj stan przed zderzeniem i po nim. Różnicę liczymy dopiero po wyznaczeniu prawidłowej wspólnej prędkości.

Wynik i jego znaczenie

Pęd początkowy wynosi 2\cdot3+1(-3)=3 kg·m/s. Wspólna prędkość to 1 m/s. Energia przed zderzeniem wynosi 9+4,5 = 13,5 J, a po zderzeniu 3\cdot1^2/2=1{,}5 J. Energia kinetyczna maleje o 12 J. Pęd nie zniknął, a spadek energii kinetycznej został rozliczony w innych postaciach energii układu.

Kontrola i znaczenie spadku energii

Końcowy pęd 3 kg·1 m/s = 3 kg·m/s zgadza się z początkowym. Prędkość +1 m/s leży między −3 i +3 m/s, bliżej prędkości cięższego wózka, jak powinna średnia ważona masami. Spadek energii 12 J odpowiada odkształceniom, ogrzewaniu i innym postaciom energii; nie zniknięciu pędu. Gdyby błędnie zachować całą energię 13,5 J przy wspólnej masie 3 kg, otrzymalibyśmy szybkość 3 m/s i pęd o wartości 9 kg·m/s, sprzeczny z początkowymi 3. Ten konflikt pokazuje, dlaczego nie stosujemy obu praw w niewłaściwej postaci naraz.

Jak sprawdzić stratę w układzie środka masy?

Środek masy porusza się z 1 m/s. Przed zderzeniem prędkości względem niego wynoszą +2 i −4 m/s, a energia ruchu względnego to 2·2²/2+1·4²/2 = 12 J. Po sklejeniu obie masy stoją względem środka masy, więc cała ta część energii zanika z ruchu postępowego. Pozostaje 1,5 J ruchu całego układu. To niezależnie odtwarza stratę 12 J bez zmieniania wyniku pędu; nie oznacza zniknięcia energii całkowitej.

Powiązana teoria

Zderzenia: zachowanie pędu nie oznacza zachowania energii kinetycznej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny