Impuls siły: zmiana pędu wymaga uwzględnienia zwrotu

Potrzebne wiadomości: Pęd, wektory, średnia siła i pole pod wykresem.

Dlaczego przy odbiciu trzeba zachować znaki?

Piłka leci do ściany i wraca. Porównanie samych szybkości mogłoby sugerować, że niewiele się wydarzyło: przed kontaktem 10 m/s, po nim 8 m/s. Prędkość zmieniła jednak także zwrot. W osi dodatniej ku ścianie należy zapisać v₁ = +10 m/s i v₂ = −8 m/s. Zmiana wynosi −18 m/s, a nie −2 m/s. Pęd jest wektorem mv, więc dziedziczy tę samą konieczność uwzględniania znaków. Energia kinetyczna zależy od v² i znaku nie zachowuje; tych dwóch wielkości nie można stosować zamiennie.

Pęd ma jednostkę kg·m/s. Dla stałej masy pomnożenie zmiany prędkości przez masę daje zmianę pędu. Z drugiej zasady F = mΔv/Δt, przy stałej sile, otrzymujemy FΔt = mΔv. Iloczyn siły i czasu nazywamy impulsem. W opisie zmiennej siły sumujemy impulsy krótkich przedziałów: \vec J=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\,dt=\Delta\vec p. Niutonosekunda jest równoważna kg·m/s; dżul nie jest jednostką impulsu.

Od siły do zmiany pędu

Impuls wypadkowej siły jest równy zmianie pędu: \vec J=\Delta\vec p. Dla stałej masy w mechanice klasycznej \Delta\vec p=m(\vec v_2-\vec v_1). Średnia siła w przedziale Δt spełnia \vec F_{sr}=\Delta\vec p/\Delta t. Jednostki N·s i kg·m/s są równoważne.

Piłka 0,10 kg nadlatuje z v = +6 m/s, a wraca z v = −4 m/s. Zmiana jej pędu wynosi −1,0 kg·m/s, nie −0,2 kg·m/s. Odejmujemy składowe prędkości ze znakami. Dla czasu kontaktu 0,020 s średnia wypadkowa ma wartość 50 N i zwrot przeciwny do początkowego ruchu.

Średnia to nie maksimum

Ten sam impuls rozłożony na dłuższy czas oznacza mniejszą średnią siłę. Nie określa to jednak samodzielnie maksymalnej siły: potrzebujemy przebiegu w czasie. Miękka osłona może wydłużać hamowanie, ale konkretnego bezpieczeństwa urządzenia nie da się ocenić jednym szkolnym ilorazem.

Jeżeli pytamy o siłę kontaktu, a inne siły działają przez istotny czas, trzeba uwzględnić również ich impulsy. Przy odbiciu pionowym ciężar nie znika. W krótkich zderzeniach bywa pomijalny względem kontaktu, ale powinno to być jawne przybliżenie, a nie automatyczny krok.

Impuls jest polem ze znakiem pod wykresem Fₓ(t). Przeciwne impulsy nie muszą się zrównoważyć. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Średnia siła nie jest siłą maksymalną

Podczas uderzenia siła zwykle rośnie i maleje. Nie musimy znać jej dokładnego przebiegu, aby z całej zmiany pędu obliczyć średnią wartość składowej: F_{x,\text{śr}} = Δp/Δt. Ta średnia oznacza stałą siłę, która przez ten sam czas dałaby taki sam impuls. Nie twierdzi, że rzeczywisty kontakt przez cały czas wyglądał identycznie. Dwa różne wykresy mogą mieć takie samo pole i bardzo różne wartości szczytowe.

Na wykresie Fₓ(t) prostokąt nad osią czasu wnosi dodatni impuls, a prostokąt pod osią ujemny. Dodatnia siła 6 N działająca 2 s daje 12 N·s, a ujemna −4 N przez 1 s daje −4 N·s. Suma to 8 N·s. Długości przedziałów czasu są dodatnie; znak bierze się ze zwrotu siły. Pole pod wykresem względem położenia oznaczałoby pracę, dlatego opis osi jest częścią rozwiązania, a nie dekoracją.

Przykład: piłka i pionowa ściana

Piłka 0,20 kg zmienia składową prędkości z +10 do −8 m/s. Zmiana pędu wynosi 0,20·(−8−10) = −3,6 kg·m/s. Przy kontakcie 0,020 s średnia pozioma siła ściany ma składową −180 N. Minus oznacza zwrot od ściany. Gdyby piłka po prostu zatrzymała się bez odbicia, impuls wyniósłby tylko −2 N·s. Odbicie wymaga większej zmiany pędu niż samo wyhamowanie przy tej samej prędkości początkowej.

Ciężar piłki działa pionowo, więc nie wnosi impulsu poziomego w tych osiach. To mocniejsze uzasadnienie niż samo stwierdzenie, że kontakt jest krótki. Przy analizie pionowego odbicia od podłoża ciężaru nie wolno usuwać automatycznie. Jego impuls może być mały w porównaniu z impulsem kontaktu, ale należy to sprawdzić liczbami lub mieć taki warunek w treści.

Przykład: odbicie od podłogi

Piłka 0,50 kg zmienia prędkość z −4 do +2 m/s w osi dodatniej w górę. Jej Δp = 3 kg·m/s. Kontakt trwa 0,10 s, więc średnia wypadkowa wynosi 30 N w górę. Ciężar przy g = 10 m/s² ma 5 N w dół. Z równania N_{\text{śr}} −5 = 30 otrzymujemy średnią siłę podłoża 35 N. Równoważnie: impuls podłoża 3,5 N·s plus impuls ciężaru −0,5 N·s daje wymagane 3 N·s.

Wynik 30 N nie byłby nonsensem matematycznym — opisywałby inną wielkość, wypadkową wszystkich pionowych sił. Zadanie pyta jednak o podłoże. To przykład, w którym podstawienie do poprawnego wzoru daje błędną odpowiedź, jeśli nie nazwiemy najpierw siły. Podpis F bez określenia sprawcy może ukryć ten błąd aż do końca rachunku.

Po co wydłużać czas zatrzymania?

Wózek 4 kg jadący 2 m/s ma pęd 8 kg·m/s. Przy zatrzymaniu bez odbicia potrzebuje impulsu −8 N·s. Przez 0,10 s oznacza to średnią siłę −80 N, a przez 0,40 s tylko −20 N. Wydłużenie hamowania zmniejsza średnią siłę, ale nie zmienia koniecznej utraty 8 J energii kinetycznej. Przy jednostajnym hamowaniu dłuższy czas wiąże się z dłuższą drogą. Nie wystarczy więc obiecać małej siły bez miejsca na wyhamowanie.

Sprawdź się: dodatni impuls działa na ciało jadące w lewo. Czy ciało po nim na pewno pojedzie w prawo? Odpowiedź: nie. Jeśli pęd początkowy wynosi −12 kg·m/s, a impuls +8 N·s, końcowy pęd wyniesie −4 kg·m/s. Zwrot ruchu się nie zmieni. Impuls określa zmianę, którą dodajemy do stanu początkowego; nie zastępuje stanu końcowego.

Ten sam impuls, trzy różne wykresy kontaktu

Chcemy zatrzymać wózek o pędzie +8 kg·m/s w czasie 0,20 s bez odbicia. Potrzebny impuls wynosi −8 N·s, więc średnia składowa siły jest równa −40 N. Najprostszy model to prostokąt: przez cały czas działa −40 N. Inny model to trójkąt: wartość siły rośnie od zera do 80 N i maleje do zera. Pole wynosi −80·0,20/2 = −8 N·s, mimo że wartość szczytowa jest dwa razy większa.

Możliwy jest także bardzo krótki silny impuls i prawie zerowa siła przez resztę przedziału. Sama średnia nie wyznacza więc maksimum. Do opisu rzeczywistego kontaktu potrzebujemy kształtu wykresu, właściwości odkształcania albo pomiaru. Jednostki pomagają rozpoznać, co policzono: wysokość wykresu ma N, pole N·s, a nie J.

Sprawdź model trójkątny: przy tym samym impulsie i dwukrotnie dłuższej podstawie 0,40 s wysokość musi spaść do 40 N. To poprawny wniosek przy zachowanym trójkątnym kształcie. Bez założenia o kształcie przy tym samym niezerowym impulsie dłuższy czas daje mniejszy moduł średniej składowej siły, ale nie narzuca mniejszego szczytu każdego możliwego przebiegu. Oddzielamy własność konkretnego modelu od informacji wynikającej wyłącznie z pędu.

Zadania do tego tematu

• Odbicie piłki od pionowej ściany ze zmianą szybkości
• Odbicie pionowe z niepomijalnym impulsem ciężaru
• Dwa przeciwne impulsy nie muszą zatrzymać ciała
• Dwa czasy zatrzymania tego samego wózka

Dalsza lektura

Materiał referencyjny