Plastelina trafia w wahadło: osobno zderzenie, osobno wznoszenie

Rozwiązanie

Etap pierwszy: krótki kontakt i sklejenie

Podczas kontaktu w najniższym położeniu korzystamy z podanego pomijalnego poziomego impulsu zewnętrznego. Łączna masa wynosi 0,200 kg. Plastelina dostarcza poziomy pęd 0,020·10 = 0,20 kg·m/s, więc tuż po sklejeniu wspólna szybkość wynosi u = 0,20/0,200 = 1 m/s. Energia kinetyczna w zderzeniu nie jest zachowana.

Etap drugi: wznoszenie bez strat

Po kontakcie nić zmienia kierunek ruchu, a grawitacja zamienia energię kinetyczną na potencjalną. Dla wskazanego modelu mas punktowych i lekkiej nici nie doliczamy własnego obrotu bryły. Na maksymalnej wysokości szybkość jest zerowa:

\frac{(m+M)u^2}{2}=(m+M)gh,\qquad h=\frac{u^2}{2g}.

Masa skraca się dopiero w tym drugim bilansie, a nie przy wyznaczaniu szybkości ze zderzenia.

Wynik i jego znaczenie

Wspólna szybkość tuż po zderzeniu wynosi u=0{,}020\cdot10/0{,}200=1 m/s. Później u^2/2=gh, więc h=1/20=0{,}050 m, czyli 5 cm. Początkowo plastelina miała 1 J energii kinetycznej, a po sklejeniu układ ma tylko 0,10 J. Użycie całego początkowego 1 J do wyznaczenia wysokości zawyżyłoby ją dziesięciokrotnie.

Kontrola energii i geometrii

Po kontakcie energia wynosi 0,10 J; 0,200 kg·10 m/s²·0,050 m daje dokładnie 0,10 J na górze. Przed kontaktem plastelina miała 1 J, więc 0,90 J przeszło w inne postaci podczas sklejenia. Dla nici 1 m wysokość 0,050 m odpowiada cosθ = 1−h/L = 0,95, czyli θ≈18,19°, geometrycznie możliwemu niewielkiemu wychyleniu. W najwyższym punkcie napięcie ma dodatnią wartość (m+M)g cosθ = 1,9 N, więc model napiętej nici jest spójny. Zachowanie energii od samego początku błędnie dałoby 0,50 m, dziesięciokrotnie więcej. Zachowanie poziomego pędu podczas całego wznoszenia także byłoby błędem, bo nić później działa poziomą składową siły.

Dlaczego nie trzeba dodawać energii obrotu wokół osi wahadła?

Dla mas punktowych energia ruchu po łuku jest już zawarta w (m+M)v²/2. Zapis Iω²/2 z I = (m+M)L² i v = Lω daje dokładnie tę samą energię, a nie dodatkowy składnik. Doliczenie obu podwoiłoby ją. W treści wykluczono własny obrót rozciągłego ciężarka, co pozwala użyć tak prostego modelu. Masywny pręt albo bryła o istotnym rozmiarze wymagałyby osobnego opisu, ale nie są częścią tego zadania.

Powiązana teoria

Zderzenia: zachowanie pędu nie oznacza zachowania energii kinetycznej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny