Siła dośrodkowa nie jest dodatkową siłą

Potrzebne wiadomości: Przyspieszenie dośrodkowe, bilans sił, tarcie i trygonometria.

Stała szybkość nie jest stałą prędkością

W dwóch bliskich położeniach na okręgu wektory prędkości są styczne i mają tę samą długość, ale różnią się kierunkiem o mały kąt Δφ. Dla małego kąta długość różnicy wektorów jest w przybliżeniu vΔφ. Przebyta droga to rΔφ = vΔt. Po podzieleniu Δv przez Δt dostajemy v²/r w granicy coraz krótszego czasu.

Przyspieszenie jest skierowane ku środkowi krzywizny. Nie wynika z tego osobne oddziaływanie. Druga zasada Newtona mówi, jaka suma rzeczywistych sił ma ten ruch wytworzyć. Na gładkim stole może ją zapewniać sama linka; na orbicie grawitacja; na płaskim zakręcie składowa tarcia statycznego.

Wybierz ciało, narysuj oddziaływania

Najpierw zaznacz ciężarek i wszystkie siły od innych ciał. Potem wybierz oś radialną skierowaną ku środkowi. Dopiero w tym kierunku zapisz sumę składowych równą mv²/r. Jeśli na schemacie pojawi się dodatkowa strzałka o tej nazwie obok napięcia i ciężaru, prawdopodobnie policzono ten sam skutek dwa razy.

W dolnym punkcie dla m = 0,20 kg, r = 0,50 m i v = 5 m/s wypadkowa radialna ma 10 N. Ciężar 2 N działa przeciwnie, dlatego linka musi ciągnąć 12 N. Równanie 12 − 2 = 10 ma zarówno sens liczbowy, jak i geometryczny.

Bilans w kierunku środka

W układzie inercjalnym składowa przyspieszenia ku środkowi okręgu ma wartość a_r=v^2/r. Dlatego suma rzeczywistych składowych sił w tym zwrocie musi wynosić \sum F_r=mv^2/r. Tę rolę może pełnić napięcie linki, tarcie, grawitacja lub ich wypadkowa. Nie dopisujemy obok nich dodatkowej siły mv²/r.

W ruchu jednostajnym wartość prędkości jest stała, ale jej kierunek się zmienia. Jeżeli szybkość również się zmienia, obok radialnej występuje składowa styczna przyspieszenia. Bilans radialny pozostaje ważny dla aktualnej szybkości, nie opisuje jednak sam całego ruchu.

Przykład na pionowym okręgu

W dolnym punkcie napięta linka ciągnie ku środkowi w górę, a ciężar działa w dół. Zatem T-mg=mv^2/r. W górnym punkcie środek jest w dół, więc przy napiętej lince T+mg=mv^2/r. Zmiana znaku wynika z geometrii, nie ze zmiany grawitacji.

Po wyznaczeniu sił sprawdzamy, czy kontakt lub napięcie mogą istnieć. Ujemne napięcie linki byłoby sygnałem utraty założonego ruchu po okręgu. Na zakręcie rzeczywista przyczepność zależy od wielu warunków; szkolny model z jednym μ nie jest wyznaczeniem bezpiecznej prędkości jazdy.

Warunek istnienia napiętej linki

W górnym punkcie obie siły mogą być skierowane ku środkowi: T + mg = mv²/r. Linka może ciągnąć, lecz nie pchać, więc T ≥ 0. Stąd v² ≥ gr. Przy r = 0,50 m i g = 10 m/s² graniczna szybkość w górze to √5 ≈ 2,24 m/s.

Jeśli znamy szybkość na dole i pomijamy opory, do góry ciało wznosi się o 2 r. Zachowanie energii daje v_g² = v_d² − 4 gr. Warunek napięcia na całym pionowym obiegu prowadzi więc do v_d² ≥ 5 gr. Nie wolno porównać szybkości na dole z samym √(gr), które dotyczy innego położenia.

Wahadło stożkowe: jedna siła w dwóch równaniach

Ciężarek obiega poziomy okrąg i nie przyspiesza pionowo. Dlatego T cos θ = mg, natomiast T sin θ = mv²/r. Dzielenie drugiego równania przez pierwsze eliminuje T oraz m:

\tan\theta=\frac{v^2}{rg},\qquad v=\sqrt{rg\tan\theta}.

Dla θ = 45° składowe napięcia są równe, ale samo napięcie nie jest równe każdej z nich. Jeśli obie mają 2 N, to T = √(2² + 2²) ≈ 2,83 N. Promień okręgu nie jest długością linki: r = L sin θ. Pomylenie tych długości zmienia wynik prędkości.

Model musi też spełniać ograniczenia

Tarcie statyczne dopasowuje się do wymaganej siły aż do wartości maksymalnej μN. Nie zawsze wynosi dokładnie μN. Na płaskim zakręcie bez innych pionowych oddziaływań N = mg, ale na przechylonej jezdni geometria bilansu jest inna. Gdy szybkość się zmienia, potrzebna jest także składowa styczna. Używamy układu inercjalnego; opis z obracającego się układu wymaga osobnego wskazania sił bezwładności, a nie dopisania ich bez zmiany punktu widzenia.

Warsztat: sprawdź cały łuk, nie tylko dwa końce

Niech φ oznacza kąt położenia mierzony od dolnego punktu pionowego okręgu. Wysokość względem dołu wynosi r(1 − cos φ). Przy zachowaniu energii v²(φ) = v_d² − 2gr(1 − cos φ). Składowa ciężaru skierowana ku środkowi jest równa −mg cos φ, więc T − mg cos φ = mv²/r. Po podstawieniu:

T(\varphi)=\frac{mv_d^2}{r}-2mg+3mg\cos\varphi.

Na drodze od dołu do góry cosinus maleje od 1 do −1, więc właśnie na górze napięcie jest najmniejsze. To uzasadnia sprawdzanie T_g ≥ 0 jako warunku całego obiegu w tym modelu. Dla danych m = 0,20 kg, r = 0,50 m i v_d = 5 m/s dostajemy T = 6 N + 6 N·cos φ: na dole 12 N, z boku 6 N, na górze 0 N.

Jeżeli wzór formalnie daje T < 0, kończy się jego zastosowanie do napiętej linki. Nie jest to nowy stan linki pchającej ciężarek. Po utracie napięcia trzeba rozwiązać ruch pod działaniem pozostałych sił z nowymi warunkami.

Zadania do tego tematu

• Ciężarek na gładkim stole porusza się po poziomym okręgu
• Idealny płaski zakręt i granica tarcia statycznego
• Napięcie linki w dolnym punkcie pionowego okręgu
• Wahadło stożkowe z linką pod kątem czterdziestu pięciu stopni

Dalsza lektura

Materiał referencyjny