Druga zasada dynamiki: najpierw wybierz ciało, potem sumuj siły

Potrzebne wiadomości: Masa, przyspieszenie, wektory oraz pierwsza zasada dynamiki.

Co zmienia siła: położenie, prędkość czy przyspieszenie?

Spróbuj popchnąć pusty wózek sklepowy, a potem taki sam wózek z zakupami. Przy podobnym pchnięciu drugi trudniej rozpędzić. Nie dlatego, że „potrzebuje siły do posiadania prędkości”. Siła jest potrzebna do zmiany prędkości. Na idealnie gładkiej poziomej powierzchni rozpędzony wózek jechałby dalej także po puszczeniu uchwytu. W rzeczywistym sklepie opory zatrzymują go, gdy przestajemy pchać. Te dwa zdarzenia łatwo pomylić i przypisać samemu ruchowi obowiązek ciągłego działania siły napędowej.

Prędkość opisuje, jak zmienia się położenie, a przyspieszenie — jak zmienia się prędkość. Przyspieszenie 3 m/s² oznacza przyrost odpowiedniej składowej prędkości o 3 m/s w każdej sekundzie, jeśli pozostaje stałe. Nie oznacza przejechania trzech metrów w każdej sekundzie. Masa jest miarą bezwładności: przy tej samej wypadkowej większa masa oznacza mniejszą zmianę prędkości w tym samym czasie. Masa nie jest siłą; zapisujemy ją w kilogramach, podczas gdy siłę w niutonach.

Równanie dla wybranego ciała

W inercjalnym układzie odniesienia, dla stałej masy i w zakresie mechaniki klasycznej, zapisujemy \sum \vec F=m\vec a. Suma obejmuje siły działające na rozpatrywane ciało. Siły, którymi ono działa na inne obiekty, należą do ich równań. Niuton ma jednostkę kg·m/s², więc podzielenie siły przez masę daje przyspieszenie.

Wybieramy osie i piszemy osobne równania składowych. Jeżeli pudełko na poziomym stole nie przyspiesza pionowo, to suma pionowych sił wynosi zero. Nie oznacza to braku tych sił. Poziomo może jednocześnie występować niezerowa wypadkowa.

Przykład

Pudełko o masie 3 kg ciągniemy poziomo siłą 15 N, a opór ma wartość 6 N. Przy osi zgodnej z ciągnięciem otrzymujemy 15-6=3a, stąd a = 3 m/s². Nie dostalibyśmy tego wyniku z samego dzielenia 15 N przez masę. Jeżeli prędkość jest początkowo przeciwna przyspieszeniu, ciało najpierw zwalnia; kierunku prędkości nie da się odczytać z samej wypadkowej.

Warunek N = mg nie jest uniwersalnym prawem nacisku. Wynika z konkretnego bilansu pionowego. W przyspieszającej windzie albo przy ciągnięciu ukośną linką nacisk może być inny. Najbezpieczniejszy początek rozwiązania to nazwanie wszystkich oddziaływań i zaznaczenie zwrotów.

Długości poziomych strzałek odpowiadają wartościom sił. N i mg równoważą się tylko w opisanej sytuacji. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Rysunek sił powstaje z listy oddziaływań

Otocz w myśli sam wózek granicą. Ręka go pcha, Ziemia przyciąga, podłoże podpiera, a kontakt z podłożem i powietrzem może powodować opory. Każda strzałka powinna mieć takie uzasadnienie. Nie dodawaj osobnej „siły ruchu” ani „siły przyspieszenia”. Iloczyn m\vec a po prawej stronie równania opisuje odpowiedź ciała na oddziaływania, a nie kolejną siłę. Rysunek wykonany dla człowieka pchającego wózek zawierałby inne siły, nawet gdy oba ciała poruszają się razem.

Wybór osi nie jest wyborem prawa fizyki. Oś skierowana w prawo daje dodatnie składowe sił w prawo i ujemne w lewo. Po odwróceniu osi wszystkie składowe, również przyspieszenie, zmienią znaki; rzeczywisty ruch pozostanie ten sam. Gdy potrzebujemy wartości wypadkowej, najpierw sumujemy składowe, a dopiero potem obliczamy długość otrzymanego wektora. Dodawanie samych długości działa tylko dla sił o zgodnym kierunku i zwrocie.

Przykład: hamowanie bez zmiany zwrotu siły

Wróćmy do pudełka 3 kg, na które działa wypadkowa 9 N w prawo. Załóżmy teraz, że początkowo jedzie w lewo z szybkością 6 m/s. W osi skierowanej w prawo mamy v₀ = −6 m/s i a = +3 m/s². Po jednej sekundzie v = −3 m/s: pudełko nadal jedzie w lewo, ale wolniej. Po dwóch sekundach v = 0, a po trzech v = +3 m/s, o ile opisane siły rzeczywiście pozostają niezmienione. Jedna dodatnia wartość przyspieszenia może więc towarzyszyć hamowaniu, zatrzymaniu i rozpędzaniu.

Nie wolno przenosić tego wyniku bez zastanowienia na tarcie ślizgowe: po zmianie zwrotu ruchu tarcie zmieni zwrot, więc wypadkowa przestanie być taka sama. Kinematyczny zapis v = v₀+at stosujemy na przedziale, na którym a jest stałe. Równanie dynamiki pozwala właśnie sprawdzić ten warunek, zamiast zakładać go na podstawie wyglądu zadania.

Przykład: podparcie w ruszającej windzie

Osoba 50 kg stoi na wadze. Przyjmijmy g = 10 m/s² i przyspieszenie windy 1 m/s² w górę. Na osobę działają pionowo dwie siły: ciężar 500 N w dół i podparcie N w górę. Równanie N−500 = 50·1 daje N = 550 N. Waga skalibrowana przez dzielenie przez g wyświetli 55 kg, choć masa człowieka nadal wynosi 50 kg. Gdy winda jedzie w górę, ale hamuje z przyspieszeniem 1 m/s² w dół, równanie ma prawą stronę −50 N i otrzymujemy N = 450 N. Liczy się przyspieszenie, nie samo słowo „w górę”.

Kontrola i pytanie do siebie

W przybliżeniu inercjalnym ziemskiego laboratorium prawa Newtona dobrze opisują te ruchy; pomijamy obrót Ziemi, bardzo duże prędkości i zmianę masy. Jednostki pomagają wychwycić pomyłkę: N/kg = (kg·m/s²)/kg = m/s². Nie powiedzą jednak, czy prawidłowo wybraliśmy siły. W tym celu sprawdzamy granice: zerowa wypadkowa musi dać zerowe przyspieszenie, a dwukrotnie większa masa przy tej samej wypadkowej — przyspieszenie dwukrotnie mniejsze.

Sprawdź się: na ciało 2 kg działają siły 7 N w prawo i 7 N w lewo. Czy po sekundzie będzie stało? Odpowiedź: nie umiemy tego stwierdzić. Wypadkowa i przyspieszenie są zerowe; zachowa poprzednią prędkość. Jeśli już stało, pozostanie w spoczynku. Jeśli jechało, nadal będzie jechać jednostajnie. To właśnie różnica między warunkiem równowagi sił a informacją o stanie ruchu.

Jak z równania zrobić sprawdzalną prognozę

Równanie a_x=F_x/m łączy pomiar siły z pomiarem ruchu. Jeśli wypadkowa 12 N działa na wózek 4 kg przez 0,50 s, to przyspieszenie ma 3 m/s², a przyrost prędkości 1,5 m/s. Czas nie jest potrzebny do samego przyspieszenia; jest potrzebny, gdy chcemy powiedzieć, o ile zmieni się prędkość. Mnożymy równanie przez czas:

m(v_x-v_{0x})=F_x\Delta t,\qquad [F_x\Delta t]=\mathrm{N\,s}=\mathrm{kg\,m/s}.

Lewa strona jest zmianą pędu, prawa impulsem stałej siły wypadkowej. Jeśli siła nie jest stała, liczenie jedną jej wartością wymaga uzasadnienia. Możemy podzielić czas na krótkie odcinki, w każdym policzyć zmianę prędkości i je zsumować. Graficznie odpowiada temu pole pod wykresem siły w funkcji czasu, podzielone przez masę. Nie jest to pole pod wykresem prędkości: ono daje przemieszczenie.

To daje plan doświadczenia: zmierz masę, wyznacz wypadkową, rejestruj prędkość w jednakowych odstępach czasu. Jeżeli punkty nie układają się zgodnie z przewidywanym stałym przyrostem, sprawdź, czy siła i opory naprawdę były stałe. Nie dopasowuj na siłę ruchu do założenia. Jednostki potrafią odrzucić błędny wzór; porównanie z ruchem potrafi odrzucić błędny model sił.

Drugi punkt widzenia na ten temat: Trójkąt na wykresie wskazuje zmianę prędkości, nie jej końcową wartość. Podzielenie 8 m/s przez 4 s dałoby błędne przyspieszenie. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Zadania do tego tematu

• Dwie przeciwne siły działające na wózek
• Wskazanie wagi podczas przyspieszania windy w górę
• Wypadkowa siła wyznaczona ze zmiany prędkości
• Przyspieszenie od dwóch prostopadłych składowych siły

Dalsza lektura

Materiał referencyjny