Wahadło stożkowe z linką pod kątem czterdziestu pięciu stopni

Rozwiązanie

1. Rozdzielamy dwa kierunki

W pionie ciało nie przyspiesza, więc T cos θ = mg. W poziomie napięcie ma składową T sin θ = mv²/r. Dzieląc drugie równanie przez pierwsze, otrzymujemy tan θ = v²/(rg).

2. Szybkość i napięcie

Dla 45° tangens wynosi 1. Szybkość to √(0,5 · 10) = √5 ≈ 2,24 m/s. Napięcie wynosi 2/cos 45° = 2√2 ≈ 2,83 N. Odpowiedź: około 2,24 m/s i 2,83 N. Napięcie jest większe niż ciężar, bo tylko jego pionowa składowa równoważy 2 N.

3. Geometria linki

r = L sin θ, zatem L = 0,5/sin 45° ≈ 0,707 m. Podstawienie 0,5 m jako długości linki byłoby pomyleniem promienia poziomego okręgu z przeciwprostokątną trójkąta.

4. Dwie drogi do okresu

Długość obiegu wynosi 2πr, więc okres T_ob = 2πr/v ≈ 1,405 s. Z r = L sin θ oraz v² = rg tan θ otrzymujemy również T_ob = 2π√(L cos θ/g). Ponieważ L cos θ = 0,5 m, wynik jest identyczny. Okres oznaczyliśmy T_ob, żeby nie pomylić go z napięciem T. Jednostki sekund i niutonów nie pozwalają stosować tych wielkości zamiennie.

Zmieniamy kąt tej samej linki, więc zmienia się także promień

Zachowajmy obliczone L = 1/√2 m oraz masę 0,20 kg, ale rozważmy nowy ruch stożkowy z θ = 60°. Promień wynosi wtedy L sin 60° = √6/4 m ≈ 0,612 m, a nie pierwotne 0,50 m. Napięcie mg/cos 60° wynosi 4,00 N. Szybkość √(rg tan 60°) to około 3,257 m/s, a okres 2π√(L cos 60°/g) około 1,181 s.

Jeżeli w dodatkowym idealnym modelu limit napięcia wynosi 4 N, to mg/cos θ ≤ 4 N prowadzi do cos θ ≥ 1/2 i θ ≤ 60° dla 0 < θ < 90°. Otrzymany promień 0,612 m jest największy dla tej linki przy tym limicie. W granicy θ → 0 promień i szybkość maleją do zera, a wzór okresu dąży do 2π√(L/g). Dokładnie przy θ = 0 nie ma już obiegu po niezerowym okręgu; skończony wynik okresu opisuje granicę rodziny ruchów.

Powiązana teoria

Siła dośrodkowa nie jest dodatkową siłą

Dalsza lektura

Materiał referencyjny