Napięcie linki w dolnym punkcie pionowego okręgu

Rozwiązanie

1. Równanie w dolnym punkcie

Środek okręgu jest nad ciałem. Napięcie działa w górę, ciężar w dół, dlatego T − mg = mv²/r. Wartość mv²/r = 0,2 · 25/0,5 = 10 N jest wypadkową, nie napięciem.

2. Dodajemy ciężar

mg = 2 N. Napięcie wynosi 10 + 2 = 12 N. Odpowiedź dla dolnego punktu: 12 N. Odejmowanie ciężaru od 10 N odpowiadałoby niewłaściwemu zwrotowi sił.

3. Sprawdzamy górę przez energię

Wzniesienie o 2 r wymaga przyrostu energii potencjalnej 2 mgr. Napięcie jest prostopadłe do ruchu i w idealnym modelu nie wykonuje pracy. Otrzymujemy v_g² = v_d² − 4 gr = 25 − 20 = 5 m²/s². Szybkość na górze wynosi √5 ≈ 2,24 m/s.

Teraz T_g + mg = mv_g²/r, więc T_g = 2 − 2 = 0 N. To sytuacja graniczna: w samym szczycie linka nie musi już ciągnąć.

4. Warunek pełnego obiegu

Linka nie może pchać, więc T_g ≥ 0 wymaga v_g² ≥ gr. Po połączeniu z energią otrzymujemy v_d² ≥ 5 gr. Graniczna szybkość dolna wynosi √(5 · 10 · 0,5) = 5 m/s, dokładnie tyle, ile podano. Minimalne straty zmieniłyby ten graniczny wynik; nie mamy zapasu na opory.

Co się zmieni po zmniejszeniu szybkości dolnej do 4 m/s?

To nowy wariant, nie zmiana odpowiedzi 12 N dla danych zadania. Przy v_d = 4 m/s formalny wzór na górne napięcie dałby 0,20·16/0,50 − 5·0,20·10 = −3,6 N. Ujemny wynik oznacza, że ciało nie dotrze do góry po założonym okręgu z napiętą linką.

Korzystając z bilansu energii i sił dla dowolnego kąta φ od dołu, mamy T = 2,4 N + 6 N·cos φ. Pierwsze zero pojawia się przy cos φ = −0,4, czyli φ ≈ 113,58°. W tej chwili v² = 16 − 10(1 + 0,4) = 2 m²/s². Ciało nadal się porusza, ale napięcie znika przed szczytem. Dalszy tor nie jest już danym okręgiem; dlatego wykres kończy tę gałąź na zerze.

Powiązana teoria

Siła dośrodkowa nie jest dodatkową siłą

Dalsza lektura

Materiał referencyjny