Napięcia linek przy równowadze węzła

Potrzebne wiadomości: Rozkład sił na składowe, sinus i cosinus.

Dlaczego dwie linki nie zawsze dzielą ciężar po połowie?

Wyobraź sobie lampę podwieszoną do dwóch ukośnych linek. Każda ciągnie wzdłuż siebie, więc część jej siły jest pozioma, a część pionowa. Do podtrzymywania ciężaru przyczyniają się tylko składowe pionowe. Gdy linki są symetryczne, ich poziome składowe znoszą się, ale pełne napięcie każdej może być większe niż połowa ciężaru. Równy podział pionowego podtrzymywania nie jest równym podziałem wartości całych wektorów przez dwa.

W analizie wybieramy lekki węzeł. Siły linek są skierowane od niego ku punktom zamocowania. Ciężar lampy może być przekazany przez krótki pionowy odcinek; w równowadze działa on na węzeł w dół z wartością mg. Nie dodajemy potem jeszcze drugiego mg jako osobnej siły tej samej lampy. Węzeł ma zerowe przyspieszenie, więc sumy składowych poziomych i pionowych muszą być osobno zerowe.

Linka ciągnie wzdłuż siebie

Lekka napięta linka działa na węzeł siłą skierowaną od węzła wzdłuż linki. Nie pcha. Dla dwóch symetrycznych linek nachylonych pod kątem α do poziomu składowe poziome się znoszą, a pionowo mamy 2T\sin\alpha=mg. Zatem T=mg/(2\sin\alpha).

Kąt do poziomu i kąt do pionu to różne dane. Dla kąta do pionu w równaniu pionowym pojawiłby się cosinus. Najlepiej nie zapamiętywać jednej wersji na ślepo, lecz każdorazowo narysować składowe.

Przykład

Dla ciężaru 60 N i kąta 30° do poziomu napięcie każdej linki wynosi 60 N, nie 30 N. Pionowa składowa każdej siły ma bowiem tylko 30 N. Im mniejszy kąt α, tym większe napięcie potrzebne do uzyskania tej samej pionowej składowej.

Przy niesymetrycznych linkach piszemy dwa równania składowych. Nie przyjmujemy równych napięć bez symetrii albo dodatkowego związku, np. jednej idealnej linki przesuwającej się po bloczku. W granicy idealnie poziomych odcinków żadna skończona siła nie podtrzyma obciążenia w tym modelu. Rzeczywiste linki uginają się i rozciągają; szkolne równanie nie wyznacza bezpiecznych obciążeń zawieszenia.

Równe pionowe udziały 20 N nie oznaczają pełnych napięć 20 N. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Wyprowadzenie symetrycznego przypadku

Niech α oznacza kąt każdej linki do poziomu. Pionowa składowa napięcia to T sinα, pozioma T cosα. Poziomo mamy −T cosα+T cosα = 0, pionowo 2T sinα−mg = 0. Rozwiązując drugie równanie, dostajemy T = mg/(2 sinα). Równość obu napięć wynika tutaj z symetrii geometrii i obciążenia, a nie z samego faktu, że oba elementy są linkami.

Jeśli zamiast kąta do poziomu podano kąt β do pionu, składowa pionowa jest T cosβ. Ponieważ β = 90°−α, obie wersje opisują to samo. Zapamiętanie samego słowa „sinus” jest mniej bezpieczne niż narysowanie trójkąta składowych. Składowa przyległa do podanego kąta jest związana z cosinusem, przeciwległa z sinusem; najpierw trzeba ustalić, do której osi ten kąt zmierzono.

Przykład: ciężar 40 N i kąty 30°

Każda pionowa składowa musi mieć 20 N. Ponieważ sin 30° = 1/2, pełne napięcie wynosi 40 N. Poziome składowe mają po 20√3≈34,64 N i przeciwne zwroty. Dodając wektory napięć, dostajemy 40 N w górę, dokładnie równoważące ciężar. Dodawanie samych długości 40+40 = 80 N i porównywanie ich z ciężarem prowadzi do błędnego wrażenia, że podtrzymywanie jest „za duże”.

Przy bardziej pionowych linkach, na przykład 60° do poziomu, wymagane napięcie spadłoby do 40/(2 sin 60°)≈23,09 N. Przy prawie poziomych linkach napięcie gwałtownie wzrasta, bo mały pionowy udział każdej dużej siły musi nadal dawać 20 N. W granicy α = 0 żadna skończona wartość napięcia nie wytworzy pionowej składowej. To ograniczenie modelu idealnej geometrii, nie sposób na uzyskanie nieskończonej siły.

Przykład niesymetryczny

Na węzeł działa 60 N w dół. Lewa linka biegnie poziomo, prawa ukośnie z sinα = 0,80 i cosα = 0,60. Lewa nie ma żadnej składowej pionowej, więc prawa musi samodzielnie dostarczyć 60 N w górę. Z 0,80Tₚ = 60 N otrzymujemy Tₚ = 75 N. W poziomie lewa równoważy tylko składową prawej: Tₗ = 0,60·75 = 45 N. Napięcia są różne, a oba dodatnie.

Kontrola wektorowa: prawa siła ma składowe (+45,+60) N, lewa (−45,0) N, obciążenie (0,−60) N. Ich suma jest zerowa. Wariant z dwiema ukośnymi linkami wymaga dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Dla lampy 6 kg, g = 10 m/s² oraz kątów 30° i 60° wyniki to Tₗ = 30 N i Tₚ = 30√3≈51,96 N. Większe napięcie po prawej nie narusza równowagi poziomej, ponieważ cos 60° jest mniejszy od cos 30°.

Jak sprawdzić sens wyniku?

Napięcie ujemne oznaczałoby pchanie przez linkę, którego ta nie może zrealizować. Jeżeli tak wyjdzie w statycznym zadaniu, trzeba wrócić do geometrii albo uznać, że zakładana napięta konfiguracja nie jest możliwa. Sprawdzamy też jednostki: ciężar w niutonach dzielimy przez bezwymiarowy sinus, więc pozostają niutony. Masa w kilogramach musi najpierw zostać pomnożona przez g; nie mieszamy jej z gotowym ciężarem.

Sprawdź się: ciężar 100 N wisi na symetrycznych linkach pod 10° do poziomu. Odpowiedź: napięcie każdej wynosi około 287,9 N, lecz pionowa składowa tylko 50 N. Dla 30° napięcie wynosi 100 N. Zmieniła się geometria rozkładu wektorów, nie masa lampy. W pracowni sił można sprawdzić podobne sumowanie składowych, pamiętając, że dodatkowy warunek linki narzuca kierunek jej wektora.

Wzór ogólny wynika z dwóch składowych

Niech lewa linka tworzy z poziomem kąt α, prawa β, a ciężar wynosi Q. Dla kątów pomiędzy 0° i 90° zapisujemy T_L\cos\alpha=T_P\cos\beta i T_L\sin\alpha+T_P\sin\beta=Q. Z pierwszego równania wyrażamy jedną siłę i podstawiamy do drugiego. Po użyciu wzoru na sinus sumy:

T_L=\frac{Q\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)},\qquad T_P=\frac{Q\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.

Dla α = 30°, β = 60° i Q = 60 N mianownik wynosi 1. Otrzymujemy bezpośrednio 30 N i 30√3 N. Dla α = β wzór sprowadza się do Q/(2 sinα), ponieważ sin (2α) = 2 sinα cosα. Ten powrót do przypadku symetrycznego sprawdza rachunek.

Dokładnie dwie pionowe linki są szczególną geometrią: równanie poziome staje się 0 = 0. Sam bilans węzła ustala wtedy jedynie sumę napięć Q. Równy podział wymaga dodatkowej symetrii sposobu obciążenia i elementów; nie wolno uzyskać go przez dzielenie 0/0 we wzorze ogólnym. To przykład, w którym sprawdzenie mianownika ujawnia utratę niezależnego warunku, a nie awarię fizyki.

Poziome składowe są równe mimo różnych napięć: każdy pełny wektor jest nachylony pod innym kątem. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Zadania do tego tematu

• Dwie linki pod kątem trzydziestu stopni do poziomu
• Jedna linka pozioma, druga ukośna
• Lampa na linkach nachylonych pod kątami trzydziestu i sześćdziesięciu stopni
• Dlaczego prawie poziome linki mają duże napięcie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny