Linki i bloczki: skąd bierze się wspólne przyspieszenie?

Potrzebne wiadomości: Równania sił, stała długość linki, moment siły do ostatniego zadania.

Linka przekazuje siłę i narzuca geometrię

W dwóch ciężarkach połączonych przez bloczek nie wystarczy znać ciężary. Trzeba jeszcze wiedzieć, co oznacza opis linki i bloczka. „Lekka” pozwala pominąć masę linki, „nierozciągliwa” oznacza stałą długość, a „napięta” wyklucza luźną pętlę. „Idealny bloczek” w najprostszym zadaniu ma pomijalną bezwładność obrotową i tarcie. Każde z tych słów usuwa inny problem. Nie są ozdobnym wstępem do wzoru, który działałby także bez nich.

Linka może ciągnąć, ale nie pchać. Jeżeli z obliczeń wyjdzie ujemne napięcie, założenie o napiętej lince zawiodło. Trzeba rozważyć jej zwiotczenie, a nie interpretować minus jako sprężyste pchanie. Równość napięć wzdłuż lekkiej idealnej linki wynika z bilansu jej fragmentów; skończona różnica sił rozpędzałaby fragment o pomijalnej masie w sposób niezgodny z przyjętym modelem. Na masywnym obracającym się bloczku różnica napięć może być potrzebna do wytworzenia momentu siły.

Co znaczy bloczek idealny?

Przyjmujemy lekką, nierozciągliwą i napiętą linkę oraz bloczek bez tarcia i bezwładności obrotowej. W takim modelu napięcie jest jednakowe po obu stronach. Dla nieruchomego bloczka i dwóch pionowych odcinków linki przesunięcia końców mają równe wartości i przeciwne zwroty, więc odpowiednio wybrane składowe przyspieszeń mają tę samą wartość.

Dla ciężarków o masach m₂>m₁ wybieramy zwrot dodatni w dół dla cięższego i w górę dla lżejszego. Są to zwroty przyspieszeń, niezależnie od chwilowych prędkości. Wtedy m_2g-T=m_2a oraz T-m_1g=m_1a. Dodawanie eliminuje napięcie i daje a=(m_2-m_1)g/(m_1+m_2). Napięcie odzyskujemy z jednego z równań. Nie jest ono równe ciężarowi dowolnego ciężarka, skoro oba przyspieszają.

Bloczek ruchomy zmienia więzy

Jeżeli ciężar podtrzymują dwa pionowe odcinki tej samej idealnej linki, działają na niego dwie siły T. Przy powolnym podnoszeniu mamy 2T = mg. Wyciągnięcie wolnego końca o 40 cm podnosi ciężar tylko o 20 cm: oba odcinki muszą się skrócić. Zysk siły nie daje darmowej pracy.

Bloczek o niepomijalnym momencie bezwładności potrzebuje wypadkowego momentu siły, aby zmienić prędkość obrotową. Wtedy napięcia po obu stronach mogą się różnić. Także luźna linka nie przenosi ściskania; rozwiązanie wymagające ujemnego napięcia oznacza utratę założeń.

Długości pionowych strzałek pokazują, dlaczego lżejszy ciężarek przyspiesza w górę, a cięższy w dół. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Wyprowadź więzy, zanim połączysz równania

Przy nieruchomym bloczku suma długości dwóch pionowych odcinków linki jest stała. Jeżeli jeden ciężarek opadnie o 10 cm, drugi musi wznieść się o 10 cm. Zależność obowiązuje w kolejnych chwilach, więc wartości prędkości i przyspieszeń także są równe. W jednej wspólnej osi pionowej ich składowe mają przeciwne znaki. Wygodniej wybrać osobno dodatni zwrot w dół dla cięższego i w górę dla lżejszego. Wówczas obie niewiadome przyspieszenia można zapisać tą samą dodatnią literą a.

Nie należy przenosić tego wniosku na każdy rysunek z bloczkiem. Gdy bloczek porusza się razem z ładunkiem, długość zmieniają dwa odcinki podtrzymujące. Uniesienie ładunku o h skraca każdy o h, więc z wolnego końca trzeba wyciągnąć 2h. Wartość prędkości końca jest wtedy dwa razy większa niż prędkość ładunku. Więzy wynikają z sumy długości, nie z zapamiętanego hasła „jedna linka, jedno przyspieszenie”.

Przykład: maszyna Atwooda krok po kroku

Niech m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg i g = 10 m/s². Dla lżejszego ciężarka T−m₁g = m₁a. Dla cięższego m₂g −T = m₂a. Dodajemy równania: (m₂−m₁)g = (m₁+m₂)a. Napięcie znika z sumy tych dwóch równań skalarnych dzięki przeciwnie wybranym zwrotom osi i równości napięć. Nie jest to suma pionowych składowych sił w jednej osi: linka działa na oba ciężarki w górę. Gdy granicą układu obejmiemy tylko dwa ciężarki, siły linki są dla niego zewnętrzne; trzeba również uwzględnić rolę nieruchomego podparcia bloczka. Otrzymujemy a = 2 m/s², po czym wracamy do pierwszego równania: T = 2(10+2) = 24 N. Drugie daje 3(10−2) = 24 N, więc kontrola jest niezależna.

Napięcie jest większe niż ciężar lżejszej masy, bo ta przyspiesza w górę, i mniejsze niż ciężar cięższej, bo ta przyspiesza w dół. Przy równych masach wzór daje a = 0 oraz T = mg. Przy bardzo małej m₁ cięższe ciało zbliża się do swobodnego spadania, ale przy dodatnich obu masach wartość a pozostaje mniejsza od g. Te granice ujawniają błąd, gdy ktoś w mianowniku wpisze różnicę mas zamiast sumy.

Przykład: bloczek ruchomy nie produkuje energii

Ładunek o ciężarze 120 N wraz z lekkim ruchomym bloczkiem podtrzymują dwa pionowe odcinki. Przy bardzo powolnym podnoszeniu przyspieszenie pomijamy i 2T = 120 N, więc wolny koniec ciągniemy siłą 60 N. Chcąc unieść ładunek o 0,20 m, wyciągamy 0,40 m linki. Praca ręki wynosi 60·0,40 = 24 J, a przyrost energii potencjalnej 120·0,20 = 24 J. Mniejsza siła została okupiona większą drogą.

Ten przykład tłumaczy też, dlaczego trzeba liczyć odcinki rzeczywiście podtrzymujące ruchomy zespół. Odcinek prowadzący od dłoni do nieruchomego bloczka kierunkowego nie musi być dodatkowym podparciem ładunku. W rzeczywistym urządzeniu masa bloczka i opory zwiększą wymaganą pracę. W modelu idealnym sprawność wynosi jeden, ale nawet tutaj nie uzyskujemy większej energii na wyjściu.

Gdy obrót bloczka ma znaczenie

Dla bloczka o promieniu r i momencie bezwładności I, bez poślizgu linki, przyspieszenie kątowe wynosi a/r. Równanie momentów ma postać (T₂−T₁)r = I a/r. Po podzieleniu przez r otrzymujemy T₂−T₁ = (I/r²)a. Wielkość I/r² ma jednostkę masy i w końcowym wzorze zwiększa bezwładność układu: a = (m₂−m₁)g/(m₁+m₂+I/r²). Nie jest dodatkowym ciężarem ciągnącym linkę, lecz obciążeniem związanym z rozpędzaniem obrotu.

Sprawdź się: czy napięcie po obu stronach masywnego bloczka musi być równe, skoro oś jest bez tarcia? Odpowiedź: nie. Brak tarcia osi nie usuwa momentu potrzebnego do zwiększania prędkości obrotowej. Przy dodatnim I i niezerowym a różnica napięć jest niezerowa. Równe napięcia odzyskujemy w granicy pomijalnej bezwładności lub przy braku przyspieszenia kątowego.

Napięcie znika z pracy, nie z każdego sumowania strzałek

W maszynie Atwooda obie siły linki na ciężarki są skierowane w górę. Dlatego nie wolno narysować obu ciężarków jako jednego obiektu i wykreślić tych dwóch strzałek jako przeciwnych. Kiedy wybieramy dodatni kierunek w górę po jednej stronie, a w dół po drugiej, dodajemy równania w dwóch różnych osiach związanych więzem. To poprawna metoda, ale nie zwykła suma pionowych wektorów.

Sprawdźmy ją przez energię. Cięższa masa opada o s, lżejsza wznosi się o tę samą odległość. Ciężary wykonują łącznie pracę (m_2-m_1)gs. Napięcie wykonuje na jednym ciężarku pracę +Ts, na drugim -Ts; ich suma znika, ponieważ napięcia i drogi mają równe wartości. Przy starcie ze spoczynku:

(m_2-m_1)gs=\frac12(m_1+m_2)v^2.

Dla ciężarków 2 kg i 3 kg po przemieszczeniu 0,25 m otrzymujemy ubytek energii potencjalnej 2,5 J oraz v=1\ \mathrm{m/s}. Z dynamiki a=2\ \mathrm{m/s^2}, więc v^2=2as=1\ \mathrm{m^2/s^2}. Przy masywnym bloczku dochodzi I\omega^2/2, a brak poślizgu daje \omega=v/r. Dlatego energia kinetyczna zawiera wtedy efektywną bezwładność m_1+m_2+I/r^2. Nie dochodzi nowy ciężar, tylko nowy sposób magazynowania energii ruchu.

Drugi punkt widzenia na ten temat: Dwa napięcia podtrzymują jeden ruchomy zespół. Żeby każdy odcinek skrócił się o h, wolny koniec musi przesunąć się o 2h. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Zadania do tego tematu

• Ciężarki 2 kg i 3 kg po obu stronach idealnego bloczka
• Wózek na stole ciągnięty wiszącym obciążnikiem
• Ruchomy bloczek: mniejsza siła kosztem dłuższej drogi linki
• Ciężki bloczek wymaga dwóch różnych napięć linki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny