Lampa na linkach nachylonych pod kątami trzydziestu i sześćdziesięciu stopni

Rozwiązanie

Poziome składowe są równe mimo różnych napięć: każdy pełny wektor jest nachylony pod innym kątem. Kliknij rysunek, aby otworzyć go w pełnym rozmiarze.

Ciężar i składowe obu napięć

Masa 6 kg przy g = 10 m/s² daje ciężar 60 N. Lewa linka pod 30° ma składowe Tₗ cos 30° w lewo i Tₗ sin 30° w górę. Prawa pod 60° ma Tₚ cos 60° w prawo i Tₚ sin 60° w górę. Nie zakładamy jednakowych napięć, bo kąty są różne.

Eliminujemy jedną niewiadomą

Równowaga pozioma daje (√3/2)Tₗ = (1/2)Tₚ, czyli Tₚ = √3Tₗ. Po podstawieniu do pionowego bilansu:

\frac12T_L+\frac{\sqrt3}{2}\sqrt3T_L=60,\qquad2T_L=60.

Stąd Tₗ = 30 N i Tₚ = 30√3 N. Dokładną postać z pierwiastkiem warto zachować aż do końcowego zaokrąglenia.

Wynik

Poziomo T_L\cos30^\circ=T_P\cos60^\circ, więc T_P=\sqrt3 T_L. Pionowo T_L/2+(\sqrt3/2)T_P=60. Po podstawieniu 2T_L = 60, zatem T_L = 30 N, a T_P≈51,96 N. Bardziej stroma linka przenosi większą część ciężaru w tej konfiguracji.

Sprawdzenie rozkładu ciężaru

Lewa składowa pionowa wynosi 15 N, prawa 45 N; suma daje 60 N. Poziome składowe mają po 15√3 N i przeciwne zwroty. Prawa, bardziej stroma linka przenosi w tej konfiguracji większą część podtrzymywania. Suma samych długości napięć wynosi około 81,96 N, ale nie porównujemy jej wprost z ciężarem, bo pomija kąty. Zamiana lewej i prawej geometrii zamieniłaby także napięcia miejscami, nie zmieniając wartości całego ciężaru. Liczenie od razu 30 N dla każdej linki nie spełniłoby obu równań składowych jednocześnie.

Powiązana teoria

Napięcia linek przy równowadze węzła

Dalsza lektura

Materiał referencyjny