Co mierzy waga w windzie i dlaczego astronauta jest nieważki?

Potrzebne wiadomości: Siła ciężkości, druga zasada dynamiki, znaki przyspieszenia.

Siły na człowieku

Wybierzmy zwrot pionowo w górę jako dodatni. Na człowieka działają ciężkość mg w dół i siła podłoża N w górę. Równanie ruchu to N-mg=ma, więc N=m(g+a). Cyfrowa waga wyskalowana w kilogramach dzieli ten nacisk przez przyjęte g. Jej wskazanie nie staje się przez to nową masą człowieka.

Przy przyspieszeniu w górę N jest większe od mg, a przy przyspieszeniu w dół mniejsze. Decyduje przyspieszenie, nie zwrot prędkości: winda jadąca w dół i hamująca ma przyspieszenie w górę. Przy stałej prędkości a=0.

Swobodny spadek

Dla a=−g otrzymujemy N=0. Człowiek i kabina spadają wspólnie; zanika nacisk. Podobnie astronauta i statek na orbicie są w ciągłym swobodnym spadku, choć siła grawitacji pozostaje znaczna. Nie ma potrzeby opuszczać pola Ziemi, aby doświadczyć nieważkości.

Dla m=60 kg, g=10 m/s² i a=2 m/s² nacisk wynosi 720 N. Współczynnik przeciążenia N/(mg) wynosi 1,2. Gdy algebra daje N ujemne dla człowieka stojącego luźno na podłodze, model kontaktu przestaje obowiązywać: podłoga nie może go ciągnąć. Są to obliczenia, nie polecenie wykonywania prób w spadających kabinach.

Waga reaguje na nacisk

Zwykła waga nie odczytuje bezpośrednio siły przyciągania planety. Czujnik reaguje na odkształcenie wywołane naciskiem. W spoczynku na poziomej podłodze nacisk ma tę samą wartość co mg, więc skalę można opisać w kilogramach. Gdy waga przyspiesza, ta zgodność może zniknąć, choć masa człowieka się nie zmienia. Wyświetlacz przelicza siłę według swojej kalibracji; nie nadaje ciału nowej masy.

Przyjmijmy zwrot w górę jako dodatni. Na stojącą na wadze osobę działają N w górę i mg w dół. Druga zasada Newtona daje N−mg=ma_y, czyli N=m(g+a_y). Symbol N oznacza siłę podłogi na osobę. Z trzeciej zasady Newtona osoba naciska na podłogę z tą samą wartością, w przeciwnym zwrocie. Są to dwie siły na różne ciała, więc nie odejmujemy ich w równaniu ruchu jednej osoby.

Przykład: winda jedzie w dół, ale nacisk rośnie

Człowiek ma 70 kg, a winda zjeżdża i hamuje z przyspieszeniem 2 m/s². Hamowanie oznacza zmniejszanie szybkości, więc przy ruchu w dół przyspieszenie jest skierowane w górę. Podstawiamy a_y=+2, nie −2. Przy g=10 otrzymujemy N=70·12=840 N. W spoczynku byłoby 700 N. Zwiększony nacisk nie mówi, w którą stronę winda aktualnie jedzie; mówi o jej przyspieszeniu.

Gdyby ta sama winda jechała w górę i hamowała z tą samą wartością przyspieszenia, a_y wynosiłoby −2 m/s², a N=560 N. Przy jednostajnym ruchu w dowolną stronę a_y=0 i N=700 N. Te trzy przypadki pokazują, dlaczego w zadaniu trzeba rozdzielić zwrot prędkości od zwrotu jej zmiany. Możesz przećwiczyć to rozróżnienie w modelu ruchu i znaków przyspieszenia.

Przykład: spada także podparcie

Ciało 2 kg i podtrzymująca je waga przechodzą w idealny swobodny spadek. Dla a_y=−g wzór daje N=0. Siła ciężkości nadal wynosi 20 N przy g=10, masa nadal 2 kg. Nie ma natomiast nacisku potrzebnego do wspólnego ruchu, ponieważ grawitacja nadaje obu częściom takie samo przyspieszenie. Waga nie musi odpychać ciała, aby nadążyć za jego spadaniem.

Jeżeli mechanizm ciągnąłby podłogę w dół z przyspieszeniem większym od g, algebraicznie otrzymalibyśmy ujemne N. Zwykła podłoga nie przyciąga jednak stojącej na niej osoby. Kontakt zostałby utracony i równanie z założeniem wspólnego ruchu przestałoby obowiązywać. To przykład, w którym wynik ujemny jest sygnałem zmiany modelu, a nie egzotycznego „ujemnego nacisku”. Pasy lub inne mocowanie byłyby dodatkowym oddziaływaniem wymagającym osobnego opisu.

Nieważkość na orbicie

Statek na kołowej orbicie ma stałą szybkość, ale jego wektor prędkości stale zmienia kierunek. Przyspieszenie wynosi v²/r i jest skierowane ku planecie. Grawitacja zapewnia właśnie to przyspieszenie zarówno statkowi, jak i swobodnie poruszającym się przedmiotom wewnątrz. Podłoga nie musi stale podtrzymywać astronauty tak jak na Ziemi. To wspólny spadek, którego tor zakrzywia się wokół planety.

W idealnym modelu punktowego statku pomijamy niewielkie różnice pola między jego częściami, ruch obrotowy kabiny i opory resztkowej atmosfery. Rzeczywista mikrograwitacja nie oznacza dokładnego zera wszystkich przyspieszeń względnych. Na poziomie tego zadania najważniejsza jest jednak różnica: brak zwykłego nacisku nie wymaga braku grawitacji. Bez przyciągania statek nie utrzymywałby kołowej orbity; poruszałby się po prostej zgodnie z bezwładnością.

Przeciążenie i kontrola znaczenia liczb

Iloraz N/(mg) bywa używany do opisu obciążenia podparciem w prostym pionowym modelu. W windzie hamującej podczas zjazdu wynosi 840/700=1,2. Nie jest to wartość grawitacyjnego przyspieszenia planety podzielona przez samą siebie, lecz porównanie nacisku do zwykłego ciężaru. Przy swobodnym spadku iloraz wynosi zero, chociaż g pozostaje niezerowe.

Sprawdź się: waga pokazuje zwykłe wskazanie podczas jazdy w dół. Czy winda musi stać? Odpowiedź: nie, może poruszać się jednostajnie. Sam nacisk nie rozstrzyga o prędkości. Jeśli znamy masę, g i zachowany kontakt, pozwala określić przyspieszenie przez a_y=N/m−g. To konkretna informacja dynamiczna, a nie pełny opis położenia i ruchu.

Na którym ciele rysujemy nacisk?

Narysuj osobno człowieka i wagę. Na człowieka działa reakcja normalna wagi skierowana w górę; na wagę — nacisk człowieka skierowany w dół. Mają równe wartości z trzeciej zasady dynamiki, ale działają na dwa różne ciała. W równaniu człowieka nie występuje jego własny nacisk na wagę. Ciężkość mg i reakcja normalna nie tworzą pary akcja–reakcja. Jedna jest skutkiem oddziaływania z Ziemią, druga z podłożem.

N-mg=ma_y\quad\Longrightarrow\quad N=mg+ma_y=m(g+a_y).

Wartość N musi być nieujemna dla zwykłego kontaktu bez mocowania. Jeśli podłoga przyspiesza w dół szybciej niż g, człowiek nie zdoła poruszać się z nią wyłącznie dzięki grawitacji: traci kontakt. Równanie z narzuconym przyspieszeniem podłogi przestaje wtedy być równaniem ruchu człowieka. W swobodnym spadku a_y=−g i N=0, choć mg pozostaje niezerowe. To rozróżnienie oddziaływań wyjaśnia odczyt wagi bez zmieniania masy człowieka.

Zadania do tego tematu

• Winda jedzie w dół, ale hamuje
• Waga w swobodnie spadającym układzie
• Jednostajny lot na orbicie a nieważkość

Dalsza lektura

Materiał referencyjny