Rozszerzalność cieplna: wydłuża się także otwór

Potrzebne wiadomości: Różnica temperatur, proporcjonalność i długość, pole oraz objętość.

Dlaczego mnożymy przez długość początkową?

Ułóż w myślach dwa jednakowe, swobodne pręty jeden za drugim. Przy tym samym ogrzaniu każdy wydłuży się tak samo. Cały odcinek będzie miał dwukrotną długość początkową i dwukrotne wydłużenie. Dlatego dla tego samego materiału porównujemy względną zmianę Δl/l₀, a nie samo Δl. W zakresie liniowym współczynnik α jest zmianą względną na jeden kelwin.

Iloczyn αΔT jest bezwymiarowy. Dla α = 12·10⁻⁶ K⁻¹ i ΔT = 50 K wynosi 0,0006, czyli 0,06%. Pręt 10 m wydłuży się więc o 10 m · 0,0006 = 0,006 m. Sam czynnik 0,0006 nie jest długością w metrach.

Mała zmiana długości

Dla jednorodnego materiału w zakresie, w którym współczynnik α można traktować jako stały, \Delta l=\alpha l_0\Delta T. Różnica jednego kelwina jest równa różnicy jednego stopnia Celsjusza; nie dodajemy 273,15 do przyrostu temperatury. Długość końcowa wynosi l=l_0(1+\alpha\Delta T).

Dla pręta długości 2 m, α=15·10⁻⁶ K⁻¹ i wzrostu temperatury o 40 K otrzymujemy wydłużenie 1,2 mm. To niewielki ułamek długości, ale może mieć znaczenie przy ciasnym pasowaniu. Jeśli pręt nie może się rozszerzać swobodnie, pojawiają się naprężenia i sam wzór na swobodne wydłużenie nie opisuje jego rzeczywistej zmiany długości.

Skąd czynniki dwa i trzy?

Oznaczmy małe αΔT przez ε. Każdy wymiar liniowy mnożymy przez 1 + ε. Prostokąt ma dwa takie wymiary, więc:

\frac{A}{A_0}=(1+\varepsilon)^2=1+2\varepsilon+\varepsilon^2.

Dla bryły mamy trzy wymiary:

\frac{V}{V_0}=(1+\varepsilon)^3=1+3\varepsilon+3\varepsilon^2+\varepsilon^3.

Gdy |ε| jest bardzo małe, wyższe potęgi są znacznie mniejsze od pierwszej. Pominięcie ich daje 2α i 3α. Dla ε = 0,002 objętość zwiększa się o 0,6012008%, a przybliżenie daje 0,6000%. To dokładniejsze przemnożenie przyjętego modelu liniowych wymiarów, nie dowód, że rzeczywisty materiał ma idealnie stałe α przy dowolnym ogrzaniu.

Pole, objętość i pusta przestrzeń

Dla izotropowego ciała małe względne zmiany pola i objętości wynoszą w przybliżeniu \Delta A/A_0=2\alpha\Delta T oraz \Delta V/V_0=3\alpha\Delta T. Dokładne przemnożenie czynników długości zawiera jeszcze wyższe potęgi αΔT, pomijane w tym przybliżeniu.

Otwór można myślowo wypełnić takim samym materiałem. Przy równomiernym ogrzaniu pasujący fragment rozszerzyłby się razem z całością, a nie został ściśnięty przez resztę. Średnica swobodnego otworu rośnie według tej samej reguły długości. Nierównomierne ogrzewanie, ograniczenia mechaniczne i materiały anizotropowe wymagają osobnego modelu.

Otwór nie jest ciałem o ujemnej rozszerzalności

Pomyśl o siatce punktów narysowanej na płytce przed wycięciem otworu. Swobodne, jednorodne ogrzanie zwiększa wszystkie odległości w tej siatce tym samym czynnikiem. Usunięcie fragmentu nie odwraca kierunku zmian na brzegu pozostałego materiału. Średnica otworu jest odległością między dwoma punktami brzegu, więc również rośnie.

W otworze 20,00 mm wzrost o 0,040 mm to przyrost, a końcowy wymiar wynosi 20,040 mm. Jeżeli dopasowany trzpień ogrzejemy razem z płytką i ma on to samo α, oba wymiary rosną proporcjonalnie. Nie można wtedy zakładać, że rozszerzył się tylko otwór. Luzy zależą od obu temperatur i obu materiałów.

Chłodzenie, ograniczenia i gęstość

Przy ΔT < 0 wzór daje ujemne Δl, czyli skrócenie. Jeżeli pręt zamocowano sztywno na obu końcach, nie ma swobody takiej zmiany: pojawiają się naprężenia. Nie podstawiamy swobodnego wydłużenia jako faktycznego ruchu końców zablokowanego pręta. Z kolei dwa złączone metale o różnych α mogą się wyginać; różnica swobodnych wydłużeń jest wskazówką, nie pełnym rozwiązaniem bimetalu.

Jeżeli masa pozostaje stała, a objętość rośnie, gęstość maleje: ρ/ρ₀ = V₀/V. To łączy rozszerzalność z lekcją o gęstości. Kierunek zmiany należy sprawdzić, zanim uznamy obliczenie za zakończone.

Warsztat: kiedy otwór przepuści chłodny trzpień?

Sam znak wydłużenia nie rozstrzyga, czy dwa elementy będą pasować. Rozważmy dodatkowy model: otwór ma początkowo 20,00 mm i α = 20·10⁻⁶ K⁻¹, a osobny trzpień o średnicy 20,030 mm pozostaje w temperaturze początkowej. Ogrzewamy tylko swobodną płytkę. Różnica średnic wynosi:

c(\Delta T)=d_0(1+\alpha\Delta T)-d_p=-0{,}030\ \mathrm{mm}+0{,}0004\ \mathrm{mm/K}\cdot\Delta T.

Dla 75 K otrzymujemy c = 0: średnice w idealnym modelu są równe. Dodatni luz średnicowy pojawia się dopiero powyżej tej wartości; przy 100 K wynosi 0,010 mm. Luz promieniowy dla współosiowych elementów jest o połowę mniejszy, czyli 0,005 mm. Ujemne c oznacza niedopasowanie swobodnych wymiarów, a nie ujemną długość.

Jeśli również trzpień się ogrzewa, trzeba odjąć jego przyrost α_pd_pΔT_p. O wyniku decydują wtedy oba materiały i obie temperatury. Powyższa prosta opisuje wyłącznie wskazany model chłodnego trzpienia; nie obejmuje odkształcenia po wciśnięciu ani tolerancji wykonania.

Zadania do tego tematu

• Swobodne wydłużenie dziesięciometrowego pręta
• Zmiana średnicy ogrzanego otworu
• Dwa materiały, jednakowa długość i różne wydłużenia
• Przybliżona i dokładniejsza zmiana objętości sześcianu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny