Przybliżona i dokładniejsza zmiana objętości sześcianu

Rozwiązanie

1. Trzy wymiary dają trzecią potęgę

Objętość to iloczyn trzech długości. Każda mnoży się przez 1,002, zatem V/V₀ = 1,002³ = 1,006012008. Odejmujemy 1, aby wyznaczyć samą względną zmianę.

Względna zmiana wynosi 0,006012008, czyli 0,6012008%.

2. Co pomija przybliżenie?

Rozwinięcie (1 + ε)³ to 1 + 3ε + 3ε² + ε³. Zostawienie tylko pierwszej potęgi ε = 0,002 daje zmianę 0,006 = 0,6000%. Pominięte dodatnie składniki sprawiają, że to przybliżenie zaniża wynik.

3. Punkty procentowe i błąd względny

Różnica zmian to 0,6012008% − 0,6000% = 0,0012008 punktu procentowego. Odnosząc samą różnicę do dokładniejszej zmiany, dostajemy (0,006012008 − 0,006)/0,006012008 · 100% ≈ 0,1997%. Błąd względny przybliżenia wynosi około 0,200%. To inna liczba, bo inny jest mianownik porównania.

4. Masa pozostała taka sama

ρ/ρ₀ = V₀/V = 1/1,006012008 ≈ 0,994024. Gęstość nieco zmalała, zgodnie z większą objętością tej samej masy. „Dokładny” wynik odnosi się tu do podanego czynnika zmiany boków, a nie do uniwersalnego opisu materiału przy dowolnej temperaturze.

Dlaczego błąd zmiany jest większy od błędu całej objętości?

Pominięta część względnej objętości wynosi 3ε² + ε³ = 0,000012008. Jeśli podzielimy ją przez całe V/V₀ = 1,006012008, błąd wyniesie około 0,00119%. Jeśli dzielimy przez sam przyrost 0,006012008, otrzymujemy około 0,1997%. Licznik jest ten sam, lecz porównujemy go z bardzo różnymi wielkościami.

Dla dodatniego ε względny błąd przyrostu ma postać \delta=\frac{3\varepsilon^2+\varepsilon^3}{3\varepsilon+3\varepsilon^2+\varepsilon^3}=\frac{\varepsilon(3+\varepsilon)}{3+3\varepsilon+\varepsilon^2}. Dla małych ε jest zbliżony do ε. Przy ε = 0,01 wynosi już około 0,9934%. W punkcie ε = 0 sam przyrost znika, więc iloraz błędów przyrostu nie jest określony; krzywa dochodzi do zera jako granicy.

Powiązana teoria

Rozszerzalność cieplna: wydłuża się także otwór

Dalsza lektura

Materiał referencyjny