Swobodne wydłużenie dziesięciometrowego pręta

Rozwiązanie

1. Różnica temperatur bez zmiany zera

Ogrzanie o 50°C oznacza wzrost o 50 K. α ma jednostkę K⁻¹, więc αΔT jest liczbą bez jednostki. Tutaj wynosi 12·10⁻⁶ · 50 = 0,0006.

2. Od względnej zmiany do milimetrów

\Delta l=\alpha l_0\Delta T=12\cdot10^{-6}\cdot10\cdot50=0{,}006\ \mathrm{m}.

Wydłużenie wynosi 6 mm. Kontrola: to tylko 0,06% dziesięciometrowego pręta. Nie jest to końcowa długość, lecz niewielka zmiana.

3. Cała długość po ogrzaniu

Dodajemy wielkości w jednej jednostce: l = 10 + 0,006 = 10,006 m. Zapis 10 + 6 bez oznaczenia jednostek mieszałby metry z milimetrami.

4. Odwracamy pytanie

Dla Δl = 0,003 m dzielimy przez αl₀: ΔT = 0,003/(12·10⁻⁶ · 10) = 25 K. Potrzebny przyrost to 25 K. Połowa żądanego wydłużenia wymaga połowy przyrostu temperatury w tym modelu. Wyniki zakładają swobodę końców; przy unieruchomieniu rozpatrywalibyśmy także naprężenia.

Sprawdzian odwrotny: co mierzy nachylenie?

Przyrost 6 mm na 50 K daje nachylenie 0,12 mm/K. To iloczyn αl₀, a nie samo α. Aby odzyskać współczynnik materiału, dzielimy przez 10 000 mm: α = 0,12/10 000 K⁻¹ = 12·10⁻⁶ K⁻¹. Dla pręta o połowę krótszego nachylenie byłoby dwukrotnie mniejsze, choć materiał ma to samo α.

Co oznacza znak ± w dodatkowym porównaniu?

W pierwotnym zadaniu nie podano niepewności, więc nie dopisujemy jej do odpowiedzi 6 mm. Rozważmy osobno dodatkowy pomiar i najpierw nazwijmy konwencję.

Wariant z podanymi granicami. Umownie zakładamy, że zapis 6,00 ± 0,12 mm określa dolną i górną granicę dopuszczonych wartości, a nie niepewność standardową. W tym dodatkowym modelu oznacza on 5,88 mm ≤ Δl ≤ 6,12 mm. Jeśli α i l₀ uznajemy za dokładne oraz αl₀ = 0,12 mm/K jest dodatnie, dzielimy obie granice przez ten sam czynnik:

\frac{5{,}88\ \mathrm{mm}}{0{,}12\ \mathrm{mm/K}}\leq\Delta T\leq\frac{6{,}12\ \mathrm{mm}}{0{,}12\ \mathrm{mm/K}},\qquad49\ \mathrm K\leq\Delta T\leq51\ \mathrm K.

Wariant z niepewnością standardową. Jeżeli natomiast u(Δl) = 0,12 mm, to przy tych samych dokładnych α i l₀ otrzymujemy u(ΔT) = u(Δl)/(αl₀) = 1,0 K, przy oszacowaniu ΔT = 50,0 K. Przedział 49–51 K obejmuje wtedy ± jedną niepewność standardową wokół oszacowania. Nie staje się przez to gwarantowanym zakresem prawdziwej wartości. Nie przypisujemy mu określonego poziomu pokrycia bez dodatkowych założeń o rozkładzie i modelu.

Gdy podana jest niepewność rozszerzona U, trzeba jeszcze znać współczynnik rozszerzenia k i sposób określenia poziomu pokrycia. Zapis ± sam nie rozstrzyga, który z tych przypadków autor miał na myśli. Niepewności α i l₀ również mogłyby wnosić wkład; tutaj celowo je pomijamy, aby zobaczyć samo liniowe przeliczenie. Różnice temperatur podajemy w K lub °C z tą samą wartością liczbową, bez dodawania 273,15.

Definicje niepewności standardowej i rozszerzonej: JCGM — GUM i słownik VIM.

Powiązana teoria

Rozszerzalność cieplna: wydłuża się także otwór

Dalsza lektura

Materiał referencyjny