Gęstość i ciśnienie. Dlaczego samo podanie siły nie wystarcza?

Potrzebne wiadomości: Masa, objętość, siła ciężkości i zamiana jednostek pola.

Co właściwie porównujemy?

Wyobraź sobie dwie kostki o jednakowych rozmiarach: drewnianą i stalową. Stalowa ma większą masę. Teraz weź kilogram drewna i kilogram stali. Masy są równe, ale drewno zajmuje więcej miejsca. Zdanie „stal jest cięższa od drewna” jest więc niepełne. Przy porównywaniu materiałów trzeba najpierw ustalić, że chodzi o jednakowe objętości.

Masa mówi, ile materii ma badana próbka; objętość — ile miejsca zajmuje. Gęstość łączy te informacje. Jeżeli 10 cm³ jednorodnej substancji ma masę 27 g, to na każdy centymetr sześcienny przypada 2,7 g. Właśnie ten iloraz nazywamy gęstością:

\rho=\frac{m}{V}.

Grecką literę ρ czytamy „ro”. We wzorze m jest masą, a V objętością tej samej próbki. Nie dzielimy masy kamienia przez objętość naczynia, w którym go położono. Gęstość 2,7 g/cm³ oznacza 2,7 grama na jeden centymetr sześcienny, a nie masę całego przedmiotu.

Większa próbka, ale nie większa gęstość

Po połączeniu dwóch takich samych kostek mamy dwukrotnie większą masę i dwukrotnie większą objętość. Obie liczby we wzorze rosną w tym samym stosunku:

\rho_2=\frac{2m_1}{2V_1}=\frac{m_1}{V_1}=\rho_1.

Dotyczy to jednorodnej substancji w tych samych warunkach, w szczególności przy tej samej temperaturze i ciśnieniu. Samo przecięcie kostki na pół nie zmienia gęstości jej materiału. Inaczej jest przy ogrzewaniu, sprężaniu albo zmianie budowy próbki — wtedy objętość może się zmienić bez takiej samej zmiany masy.

Średnią gęstość zamkniętego, wydrążonego przedmiotu obliczamy dla całego przedmiotu, uwzględniając jego pustą przestrzeń w objętości zewnętrznej. Nie jest ona gęstością samego materiału ścianek. To rozróżnienie przyda się przy wyjaśnianiu, dlaczego stalowy statek może pływać.

Jak wyznaczyć masę albo objętość?

Wzór nie służy wyłącznie do liczenia gęstości. Pomnóżmy obie strony równości przez V. Po prawej stronie V w liczniku i mianowniku się skróci:

\rho V=\frac{m}{V}V=m,\qquad m=\rho V.

Gdy szukamy objętości, dzielimy następnie obie strony przez ρ:

V=\frac{m}{\rho}.

Na przykład dla ρ = 2,7 g/cm³ próbka o objętości 20 cm³ ma masę 54 g. Z kolei 81 g tej samej substancji zajmuje 30 cm³. Sprawdź jednostki: przy mnożeniu g/cm³ przez cm³ pozostają gramy, a przy dzieleniu gramów przez g/cm³ — centymetry sześcienne. Nie trzeba zapamiętywać trzech niezależnych wzorów, jeżeli rozumiemy pierwszy.

Dlaczego przelicznik objętości nie wynosi 100?

W metrze mieści się 100 centymetrów. Ale metr sześcienny to kostka o trzech krawędziach długości jednego metra. Wzdłuż każdej z nich mieści się 100 małych kostek o krawędzi 1 cm. Łącznie jest ich milion:

1\ \mathrm{m^3}=100\cdot100\cdot100\ \mathrm{cm^3}=10^6\ \mathrm{cm^3}.

Stąd 1 cm³ = 0,000001 m³. Ponieważ 1 g = 0,001 kg, przeliczenie gęstości wygląda tak:

1\ \mathrm{g/cm^3}=\frac{0{,}001\ \mathrm{kg}}{0{,}000001\ \mathrm{m^3}}=1000\ \mathrm{kg/m^3}.

Duża liczba 2700 kg/m³ nie oznacza większej gęstości niż 2,7 g/cm³. To ta sama wielkość zapisana w innych jednostkach. Możesz liczyć najpierw w g i cm³, a potem przeliczyć wynik, albo od początku używać kg i m³. Nie wolno jedynie mieszać tych dróg w połowie rachunku bez zapisania jednostek.

Kamień nie jest prostopadłościanem

Objętość regularnego klocka można wyliczyć z wymiarów. Przy kamieniu wygodniejsza jest menzurka. Zapisujemy objętość wody przed zanurzeniem i odczyt po całkowitym zanurzeniu. Woda podnosi się, bo kamień zajmuje miejsce, które wcześniej mogłaby zajmować woda. Dlatego objętość kamienia jest różnicą odczytów:

V=V_{\mathrm{po}}-V_{\mathrm{przed}}.

Rys. 1. Dwa odczyty tej samej menzurki. Rysunek jest schematem, a nie fotografią pomiaru. Odczyt po zanurzeniu obejmuje wodę i wypartą przez kamień objętość. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Dla odczytów 40 cm³ i 100 cm³ różnica wynosi 60 cm³. Końcowe 100 cm³ nie jest objętością samego kamienia. Pomiar zakłada pełne zanurzenie, brak rozpuszczania i nasiąkania oraz brak przyczepionych pęcherzyków. Pęcherzyk też wypiera wodę, choć nie doliczyliśmy jego masy do masy kamienia.

Menzurka powinna stać pionowo, a oko znajdować się na wysokości menisku. Dla wody odczytujemy dolną część menisku. Nie zapisujemy większej dokładności, niż umożliwia podziałka. Jeśli oba odczyty są niepewne, niepewna jest również ich różnica. Dokładniejszą analizę pomiarów zostawiamy osobnej pracowni.

Ta sama siła na różnej powierzchni

Spróbuj oprzeć ten sam klocek raz na szerokiej, raz na wąskiej podstawie. Jego masa i ciężar się nie zmieniają. Zmienia się powierzchnia, przez którą naciska na podłoże. Do porównania takiego nacisku używamy średniego ciśnienia:

p=\frac{F_\perp}{S}.

Litera p oznacza ciśnienie, F_⊥ wartość siły prostopadłej do powierzchni, a S pole powierzchni styku. Liczymy więc, ile niutonów nacisku przypada średnio na metr kwadratowy. Jeden paskal to jeden niuton na metr kwadratowy: 1 Pa = 1 N/m². Gdy nacisk jest nierównomierny, iloraz nadal daje średnią, a nie wartość w każdym punkcie.

Nie każda siła przyłożona do przedmiotu jest jego naciskiem na stół. Ciągnięcie poziomo nie może być bez wyjaśnienia podstawione jako F_⊥. Równość nacisku i mg stosujemy dla spoczywającego ciała na poziomym podłożu, gdy nie ma dodatkowych pionowych sił. Unoszenie części ciężaru nicią zmieniłoby ten bilans.

Od kilogramów do paskali — bez pomijania etapów

Klocek ma masę 3 kg i spoczywa na podstawie 150 cm². Przyjmijmy g = 10 N/kg. Najpierw liczymy ciężar i uzasadniamy, że tyle samo wynosi nacisk:

F_\perp=mg=3\ \mathrm{kg}\cdot10\ \mathrm{N/kg}=30\ \mathrm{N}.

Następnie zamieniamy pole. Ponieważ 1 cm = 0,01 m, to 1 cm² = 0,0001 m². Oba wymiary pola podlegają przeliczeniu. Otrzymujemy 150 cm² = 0,015 m², a dopiero teraz:

p=\frac{30\ \mathrm{N}}{0{,}015\ \mathrm{m^2}}=2000\ \mathrm{Pa}.

Na podstawie 50 cm² nacisk pozostaje równy 30 N, lecz ciśnienie wyniesie 6000 Pa. Możemy to przewidzieć bez ponownego liczenia: trzykrotnie mniejsze pole przy tej samej sile daje trzykrotnie większe ciśnienie. Szersze podpory nie zmniejszają ciężaru. Rozkładają nacisk na większą powierzchnię.

Rys. 2. Porównujemy pola styku, oglądane od góry. Siła nacisku jest prostopadła do tych pól. To przykładowe kształty podstaw, nie odtworzenie wymiarów pojemnika. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Jak rozpoznać sensowny wynik?

Zadaj dwa pytania. Czy masa i objętość w obliczeniu gęstości należą do tego samego ciała? Czy siła i pole w obliczeniu ciśnienia dotyczą tej samej powierzchni styku? Następnie sprawdź jednostkę i kierunek zmiany: większa masa przy tej samej objętości daje większą gęstość; większe pole przy tym samym nacisku daje mniejsze ciśnienie.

Ciśnienie nie jest strzałką. W spoczywającej cieczy jest wielkością skalarną, a ustawienie ścianki określa kierunek wywieranej na nią siły. Do zależności ciśnienia od głębokości przejdziemy w materiale Ciśnienie hydrostatyczne i odczyt manometru. Nie trzeba jej jeszcze używać w zadaniach o gęstości i nacisku klocka.

Praktyczny pomiar masy, objętości i wskazań siłomierza znajdziesz w materiale Pracownia: gęstość, ciśnienie i wypór. Wyniki łatwiej zrozumieć, gdy najpierw rozróżnimy wielkości mierzone bezpośrednio i obliczane z innych pomiarów.

Średnia gęstość: nie zawsze średnia z dwóch liczb

Połączmy bez szczelin dwa lite elementy. Pierwszy ma objętość 20 cm³ i gęstość 1 g/cm³, drugi 80 cm³ i gęstość 3 g/cm³. Zakładamy, że po połączeniu ich objętości się nie zmieniają. Ile wynosi średnia gęstość całego przedmiotu? Wpisanie (1+3)/2 dałoby 2 g/cm³, lecz wtedy potraktowalibyśmy oba materiały tak, jakby zajmowały tyle samo miejsca.

Wróćmy do definicji. Masy elementów wynoszą 20·1=20 g oraz 80·3=240 g. Mamy razem 260 g w objętości 100 cm³:

\rho_{\mathrm{sr}}=\frac{\rho_1V_1+\rho_2V_2}{V_1+V_2}=\frac{20+240}{20+80}=2{,}6\ \mathrm{g/cm^3}.

Osiemdziesiąt procent objętości zajmuje materiał o większej gęstości, dlatego wynik jest bliższy 3 niż 1. Możemy to zapisać również jako 0,20·1+0,80·3=2,6. Te udziały są udziałami objętości, nie masy. Dla jednakowych objętości dostalibyśmy zwykłą średnią arytmetyczną.

Kontrola: średnia 2,6 mieści się między 1 i 3 g/cm³, a pomnożona przez całe 100 cm³ odtwarza 260 g. Nie znaczy to, że każdy mały kawałek przedmiotu ma teraz gęstość 2,6. Ciało pozostaje niejednorodne. Jeśli dodamy do objętości zewnętrznej pustą przestrzeń albo objętość zmieni się podczas łączenia, trzeba najpierw poprawić model, a dopiero potem rachunek.

Zadania do tego tematu

• Gęstość — zadanie: kamień w menzurce
• Ciśnienie — zadanie: pojemnik na dwóch podstawach

Dalsza lektura

Materiał referencyjny