Przewodzenie ciepła: różnica temperatur napędza przepływ

Potrzebne wiadomości: Temperatura, energia, moc i proporcjonalność.

Co oznacza stan ustalony?

Temperatura w każdym punkcie warstwy jest stała w czasie, choć po jednej stronie jest wyższa niż po drugiej. Energia stale przepływa, ale nie gromadzi się coraz szybciej w środku. To inna sytuacja niż pierwsze chwile ogrzewania zimnej ściany, gdy część energii podnosi temperaturę samego materiału.

Większe pole A daje więcej równoległych dróg transportu energii. Większa grubość d wydłuża drogę i zmniejsza nachylenie temperatury przy tym samym ΔT. Dlatego we wzorze moc jest proporcjonalna do A i odwrotnie proporcjonalna do d. Współczynnik λ opisuje zdolność materiału do przewodzenia; nie jest jego ciepłem właściwym c, które określa energię potrzebną do zmiany temperatury.

Jednowymiarowy stan ustalony

Dla płaskiej jednorodnej warstwy o grubości d i polu A, przy stałym współczynniku przewodzenia λ, moc przepływu ciepła wynosi \dot Q=\lambda A(T_g-T_z)/d. Zakładamy stan ustalony, brak źródeł wewnątrz oraz przepływ prostopadły do powierzchni. Jednostką λ jest W/(m·K), a wynikiem moc w watach, nie energia w dżulach.

Opór cieplny warstwy definiujemy jako R=d/(\lambda A), wtedy \dot Q=\Delta T/R. Dla warstw ułożonych szeregowo w stanie ustalonym przepływa ta sama moc, a spadki temperatur się dodają. Dlatego dodajemy opory. Nie uśredniamy po prostu współczynników przewodzenia.

Jednostki rozdzielają energię od mocy

\dot Q=\frac{\lambda A\Delta T}{d},\qquad [\dot Q]=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\cdot K}}\frac{\mathrm{m^2\cdot K}}{\mathrm{m}}=\mathrm{W}.

Kropka przypomina, że liczymy energię na jednostkę czasu. Dopiero Q = Q̇t daje energię, gdy moc jest stała. W godzinie jest 3600 s; pomylenie godzin z sekundami nie zmienia zjawiska, lecz mnoży błąd rachunku przez 3600.

Przykład

Warstwa o λ=0,050 W/(m·K), A=2 m² i d=0,10 m ma R=1 K/W. Przy różnicy 15 K przewodzi 15 W. Jeśli warunki pozostają niezmienne przez godzinę, przepłynie 54 kJ energii. Słowo „przez godzinę” nie jest potrzebne do mocy, ale jest potrzebne do energii.

W rzeczywistej przegrodzie znaczenie mogą mieć opory kontaktu, konwekcja, promieniowanie, wilgoć i mostki cieplne. Temperatura powierzchni nie zawsze równa się temperaturze otaczającego powietrza. Zadania poniżej świadomie podają temperatury graniczne i upraszczają geometrię; nie są projektem izolacji budynku.

Wyprowadzenie dodawania oporów

Niech T_m będzie temperaturą styku. Przez pierwszą warstwę płynie (T_g − T_m)/R₁, przez drugą (T_m − T_z)/R₂. Te moce są równe; inaczej styk stale by się ogrzewał albo chłodził. Dodając oba spadki temperatur, otrzymujemy:

T_g-T_z=\dot Q R_1+\dot Q R_2=\dot Q(R_1+R_2).

Jeśli R₁ = 1 K/W, R₂ = 0,5 K/W, a temperatury graniczne to 30°C i 0°C, moc wynosi 20 W. Spadki to odpowiednio 20 i 10 K, więc styk ma 10°C.

Na rysunku pierwsza warstwa ma tylko 5 cm, lecz większy opór niż druga o 10 cm, bo znacznie gorzej przewodzi. Grubość sama nie określa spadku temperatury. W każdej jednorodnej warstwie T(x) jest liniowe w tym modelu; zmiana nachylenia na styku nie oznacza skoku temperatury przy założonym idealnym kontakcie.

Równolegle to inny bilans

Dwie sąsiednie części przegrody mogą mieć tę samą różnicę temperatur, ale przewodzić różne moce. Wtedy sumujemy moce, a nie opory: Q̇ = ΔT/R₁ + ΔT/R₂. Dla R₁ = 2 K/W i R₂ = 6 K/W przy ΔT = 12 K części przewodzą 6 W i 2 W; całość 8 W, czyli ma opór zastępczy 1,5 K/W.

Dlatego nawet mały obszar o dużej przewodności może istotnie zmienić wynik. Nie zastępuj układu szeregowego równoległym tylko dlatego, że w obu występują dwa materiały. Najpierw narysuj, czy energia przechodzi kolejno przez warstwy, czy ma do wyboru różne ścieżki.

Warsztat: mała powierzchnia, duży udział w przepływie

Rozważmy dwie drogi równoległe o tej samej grubości 0,10 m i tej samej różnicy temperatur powierzchni 20 K. Całe pole to 10 m². Materiał o λ = 0,040 W/(m·K) zajmuje 98% pola, a drugi o λ = 2,0 W/(m·K) pozostałe 2%. Pomijamy przepływ poprzeczny i opory kontaktów.

Pierwsza część przewodzi 0,040·9,8·20/0,10 = 78,4 W, druga 2,0·0,2·20/0,10 = 80 W. Suma 158,4 W jest 1,98 razy większa od 80 W dla jednorodnej pierwszej warstwy. Obszar stanowiący tylko 2% pola przenosi tu ponad połowę całej mocy.

W tym konkretnym układzie można zdefiniować λ_ef = 0,98·0,040 + 0,02·2,0 = 0,0792 W/(m·K). Jest to średnia ważona polami dróg równoległych o jednakowej grubości. Nie działa jako zwykłe uśrednienie dla warstw szeregowych, gdzie ta sama moc musi przejść przez każdą z nich.

Zadania do tego tematu

• Moc i energia przepływająca przez jedną warstwę
• Dwie warstwy szeregowe i temperatura między nimi
• Jakiej grubości wymaga zadany limit mocy w idealnym modelu?
• Podwojenie grubości i pola: co stanie się z mocą?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny