Dwie warstwy szeregowe i temperatura między nimi

Rozwiązanie

1. Dwa opory zamiast średniej przewodności

R₁ = 0,05/(0,05 · 1) = 1 K/W, R₂ = 0,10/(0,20 · 1) = 0,5 K/W. Warstwy są szeregowe: energia przechodzi kolejno przez obie. Łączny opór wynosi 1,5 K/W.

2. Jedna moc i dwa spadki temperatury

Moc wynosi (30 − 0)/1,5 = 20 W. Na pierwszej warstwie spadek ma wartość 20 · 1 = 20 K, więc styk ma 10°C. Druga warstwa odbiera pozostały spadek 20 · 0,5 = 10 K.

Odpowiedź: moc 20 W, temperatura styku 10°C. Przez obie warstwy płynie ta sama moc; nie ma dwóch niezależnych strumieni do dodania.

3. Odwrócona kolejność

Suma oporów nadal wynosi 1,5 K/W, więc moc nadal wynosi 20 W. Od ciepłej strony jest teraz R = 0,5 K/W, dające spadek 10 K. Po zamianie temperatura styku wynosi 20°C.

4. Profile temperatury

W pierwotnym układzie 30→10°C następuje na pierwszych 5 cm, a 10→0°C na kolejnych 10 cm. Po zamianie 30→20°C następuje na 10 cm, a 20→0°C na ostatnich 5 cm. Łączymy punkty liniami prostymi; idealny kontakt nie daje skoku temperatury. Zmienia się przebieg T(x), choć całkowita moc pozostaje taka sama.

Ta sama moc, inne położenie załamania

Nałożenie obu profili pozwala sprawdzić dwie rzeczy naraz: końce mają te same temperatury, ale styk nie pozostaje w tym samym miejscu. W pierwotnym porządku leży przy x = 5 cm i 10°C; w odwróconym przy x = 10 cm i 20°C. Nachylenia wynoszą −4 K/cm w gorszym przewodniku i −1 K/cm w lepszym. Zmiana kolejności nie zmienia tych nachyleń, tylko ich położenie.

Kontrola lokalna wykorzystuje prawo Fouriera: Q̇ = −λA·dT/dx. Przeliczenie −4 K/cm na −400 K/m daje −0,05·1·(−400) = 20 W; dla −100 K/m otrzymujemy −0,20·1·(−100) = 20 W. Minus we wzorze wiąże dodatnią moc w kierunku osi x ze spadkiem temperatury.

Powiązana teoria

Przewodzenie ciepła: różnica temperatur napędza przepływ

Dalsza lektura

Materiał referencyjny