Prosta z danych pomiarowych: nachylenie, wyraz wolny i niepewności

Potrzebne wiadomości: Współrzędne punktu, funkcja liniowa i pojęcie niepewności pomiaru.

Punkty nie muszą leżeć dokładnie na prostej

Na wykresie odkładamy dane, jednostki i zadeklarowane przedziały lub niepewności. W tym przykładzie t=0,1,2,3 s, a x=1,1; 2,9; 5,2; 7,0 m. Przyjmujemy dla celów geometrycznej kontroli granice ±0,3 m, nie przedziały ufności. Błędy czasu pomijamy. Prosta x=(1\,\mathrm{m})+(2\,\mathrm{m/s})t przechodzi przez wszystkie pionowe odcinki dopuszczalnych wartości.

Nachylenie liczymy z dwóch odległych punktów wybranej prostej, niekoniecznie z dwóch surowych pomiarów. Wynosi 2 m/s. Wyraz wolny 1 m jest położeniem w przyjętej chwili t=0, nie dodatkową prędkością. Wymuszenie przejścia przez początek układu usuwałoby rzeczywisty parametr modelu.

Zgodność graficzna to nie certyfikat statystyczny

Z samych skrajnych punktów nachylenia prostych przechodzących przez zadane granice mieszczą się od (6,7−1,4)/3 do (7,3−0,8)/3, czyli od około 1,77 do 2,17 m/s. Dla tych danych skrajne proste mieszczą się też w granicach dwóch punktów środkowych. To ilustracja zgodności z granicami, nie niepewność standardowa ani automatyczny przedział 95%. Gdy odcinki oznaczają niepewności standardowe, wymaganie przecięcia każdego z nich nie jest ogólnym testem akceptacji modelu. Regresja, korelacje i niepewność parametrów wymagają osobnego opisu.

Stała poprawka zera przesuwa wykres. Dryf zmieniający się z czasem wymagałby innego modelu. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Prosta modelu nie jest łamaną przez wszystkie odczyty

Łączenie kolejnych punktów pomiarowych odcinkami może pomóc śledzić kolejność, ale nie jest tym samym co dopasowanie modelu liniowego. Model zakłada wspólną zależność x=b+vt, a odchylenia od niej mogą wynikać z niepewności. Wymuszenie przejścia przez każdy odczyt tworzy dodatkowe zmiany nachylenia, których dane nie muszą uzasadniać fizycznie.

Na wykresie trzeba powiedzieć, czym są pionowe odcinki: twardymi granicami, standardowymi niepewnościami czy przedziałami o określonym poziomie ufności. Sam znak ± nie wystarcza. Dla twardych granic można sprawdzać geometryczne przecięcie wszystkich odcinków. Dla standardowych niepewności brak przecięcia jednego odcinka nie jest automatycznym dowodem odrzucenia modelu.

Przykład: czy wolno wymusić zero?

Przy t=0 odczyt 1,1 m z granicą±0,3 m dopuszcza 0,8–1,4 m. Prosta x=(7/3)t przewiduje zero, czyli wartość poza tym zakresem. Już pierwszy pomiar wystarcza do wykluczenia tej konkretnej prostej w zadanej kontroli. Dopasowanie końcowego punktu przy 3 s nie naprawia błędu przy początku.

Prosta x=1+2t przewiduje 1,3,5,7 m. Reszty, liczone jako odczyt minus model, wynoszą 0,1;−0,1;0,2;0 m i mieszczą się w granicach. To zgodność z tymi danymi, nie dowód prawdziwości poza zakresem ani gwarancja poziomu ufności. Możliwe mogą być także inne proste. Warto zachować różnicę między „model nie został wykluczony” i „udowodniliśmy, że to jedyny model”.

Przykład: zamiana osi zmienia jednostkę nachylenia

Dla pomiarów rezystora(0,01 A,0,6 V),(0,03 A,1,8 V),(0,05 A,3 V) wykres U(I) ma nachylenie 60 V/A=60 Ω. Po zamianie osi I(U) nachylenie wynosi 1/60 A/V≈0,0167 S. Nie jest już oporem, lecz jego odwrotnością. Oporu nie zmienia narysowanie innej osi poziomej; zmienia się tylko to, jak odczytujemy go ze współczynnika.

Wizualny kąt prostej zależy od skal osi. Ta sama wartość 60 Ω może wyglądać stromo albo płasko na różnych wydrukach. Nachylenie fizyczne liczymy z różnicy wartości i ich jednostek, a nie z tangensa kąta zmierzonego kątomierzem na dowolnie rozciągniętej grafice.

Przykład: błąd zera i sto powtórzeń

Jeśli każdy odczyt położenia jest zawyżony o 0,40 m, zależność x=b+vt staje się x_odczyt=(b+0,40)+vt. Nachylenie pozostaje v, wyraz wolny rośnie o 0,40 m. Poprawka przesuwa całą prostą równolegle w dół. Sto odczytów może bardzo dokładnie ustalić ten przesunięty wyraz wolny, lecz nie usuwa jego przyczyny.

Sprawdź się: czy różnica dwóch położeń z tego samego czujnika zawiera takie stałe przesunięcie? Nie, wspólne 0,40 m znosi się w odejmowaniu. Jeśli natomiast przesunięcie dryfuje z czasem, może zniekształcić także nachylenie. Dlatego kontrola zera przed i po serii dostarcza informacji, której nie zastąpi samo zwiększenie liczby punktów.

Zadania do tego tematu

• Czy prosta wymuszona przez zero pasuje do pomiaru?
• Ta sama tabela, dwie orientacje osi i odwrotne nachylenia
• Czy większa liczba punktów usuwa stałe przesunięcie zera?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny