Rozdzielczość, granica błędu i niepewność przyrządu — trzy różne rzeczy

Potrzebne wiadomości: Odczyty przyrządów, średnia i zapis wyniku z jednostką.

Co wiemy o przyrządzie?

Rozdzielczość określa najmniejszą zmianę wskazania. Błąd wskazania jest różnicą między nim a odpowiednią wartością odniesienia. Zwykle nie znamy całego błędu konkretnego pomiaru, dlatego podajemy niepewność. Rozpoznane przesunięcie zera korygujemy; samo dopisanie znaku ± nie zastępuje poprawki.

Przy idealnym zaokrąglaniu do kroku d błąd samego zaokrąglenia mieści się między −d/2 i d/2. Jeśli przyjmiemy równomierny rozkład w tym przedziale, niepewność standardowa wynosi u=d/\sqrt{12}. Dla ogólnej granicy ±a i tego samego modelu rozkładu dostajemy u=a/\sqrt3. Granica i niepewność standardowa nie są tą samą liczbą.

Przykład z termometrem

Termometr ma krok 0,1°C. Składnik od samego zaokrąglania daje około 0,029°C. Jeśli producent deklaruje granicę ±0,4°C, nie wolno zastąpić jej mniejszym krokiem wyświetlacza. Należy też sprawdzić, czy deklaracja obejmuje już zaokrąglanie, aby nie liczyć tego wpływu dwa razy.

Ocena typu B korzysta m.in. ze specyfikacji, wzorcowania i wiedzy o przyrządzie. Nie oznacza automatycznie błędu systematycznego: typ A i typ B opisują sposób oceny składnika niepewności. Do wyniku trzeba dołączyć informację, co dokładnie oznacza liczba po znaku ±.

Więcej cyfr nie znaczy lepszy przyrząd

Termometr wyświetla 20,00°C, drugi 20,0°C. Pierwszy ma drobniejszy krok wskazania, ale może mieć gorsze wzorcowanie lub większą zależność od warunków otoczenia. Rozdzielczość opisuje najmniejszy widoczny krok, nie odległość od prawdziwej wartości. To podobna różnica jak między ostrym wydrukiem mapy a poprawnością zaznaczonej na niej drogi.

Błąd konkretnego wskazania jest różnicą względem odpowiedniej wartości odniesienia. Jeżeli go rozpoznaliśmy, na przykład przy sprawdzeniu zera, stosujemy poprawkę. Niepewność opisuje pozostałą niepełną wiedzę o wyniku. Samo dopisanie± do nieskorygowanego wskazania nie powinno zastępować dostępnej poprawki znanego wpływu.

Przykład: znak poprawki zera

Zamknięta suwmiarka pokazuje +0,04 mm. Przy założeniu stałego przesunięcia zawyża więc każdy odczyt o 0,04 mm. Dla części wskazującej 12,38 mm poprawiony wynik to 12,34 mm. Sprawdzenie: gdyby rzeczywista szczelina wynosiła 0, poprawka 0,04−0,04 dałaby 0. Dodanie zamiast odjęcia podwoiłoby znane przesunięcie.

Nie otrzymaliśmy przez to dokładnej długości. Sam odczyt zera jest niepewny, ustawienie szczęk może się zmieniać, nacisk może odkształcać część, a rozdzielczość nadal ogranicza wskazanie. Poprawka i niepewność mają więc różne role: pierwsza zmienia oszacowanie, druga opisuje jakość tego oszacowania po uwzględnieniu dostępnej wiedzy.

Przykład: od kroku do rozkładu

Idealna waga zaokrągla do najbliższych 0,2 g. Sam błąd zaokrąglenia mieści się między −0,1 i+0,1 g. Jeśli przyjmiemy równomierne prawdopodobieństwo w tym przedziale, standardowe odchylenie wynosi 0,1/√3≈0,0577 g. Jest mniejsze od granicy, bo nie wszystkie dopuszczalne wartości leżą na jej krańcach. Liczby 0,1 i 0,0577 odpowiadają innym opisom tej samej założonej informacji.

Można otrzymać ten wynik z wariancji równomiernego rozkładu na[−a,a]: średnia kwadratu to a²/3. Pierwiastek daje a/√3. Ponieważ a=d/2, równoważny wzór brzmi d/√12. Nie trzeba zapamiętywać obu osobno; ważniejsze jest rozpoznanie, czy d jest pełnym krokiem, czy półszerokością granic. Pomylenie tych pojęć daje czynnik 2.

Przykład: specyfikacja procent plus cyfry

Przy wskazaniu 5,00 V granica±(0,5% wskazania +2 cyfry) oraz kroku 0,01 V oznacza 0,025 V+0,020 V=0,045 V. „Cyfra” w tej specyfikacji to jeden krok najmniej znaczącej pozycji, nie dowolna cyfra z liczby 5,00. Dwa składniki sumujemy tak, jak określił producent we wzorze na granicę; nie łączymy ich kwadratowo jak niezależnych niepewności standardowych.

Dopiero dodatkowe założenie rozkładu równomiernego w całym przedziale±0,045 V pozwala wyznaczyć u=0,045/√3≈0,026 V. Nie dodajemy ponownie kroku, jeżeli deklaracja już obejmuje jego wpływ. Podwójne liczenie tej samej przyczyny nie czyni wyniku ostrożniejszym w sensowny sposób — zaciemnia model niepewności.

Typ A i typ B nie są nazwami dwóch rodzajów błędu

Typ A oznacza statystyczną ocenę z danych, typ B ocenę z innych dostępnych informacji, np. specyfikacji czy wzorcowania. Nie jest poprawnym skrótem utożsamienie A wyłącznie z „losowym”, a B wyłącznie z „systematycznym”. Kluczowy jest sposób oceny danego składnika. Po sprowadzeniu składników do standardowych niepewności można je łączyć zgodnie z modelem i zależnościami między nimi.

Sprawdź się: który termometr ma mniejszą deklarowaną granicę: krok 0,01°C przy±1°C czy krok 0,1°C przy±0,2°C? Drugi. Odczyty 20,00 i 20,0°C są zgodne, a przedziały się nakładają. Dodatkowe zero pierwszego nie dowodzi lepszego przybliżenia temperatury odniesienia. Ocena wynika z podanych warunków, nie z liczby miejsc na wyświetlaczu.

Od rozdzielczości do budżetu niepewności

Rozdzielczość określa zdolność rozróżniania małych zmian wskazania, a krok wyświetlacza jest jej prostym cyfrowym przykładem. Nie stanowi pełnej informacji o zgodności z wartością odniesienia. Dla idealnego zaokrąglania do kroku d błąd kwantowania mieści się od −d/2 do d/2. Jeśli przyjmujemy jednakową gęstość prawdopodobieństwa, wariancja wynosi u^2=\frac{1}{d}\int_{-d/2}^{d/2}q^2\,dq=\frac{d^2}{12}, zatem u=d/√12. Dzielnik pochodzi z założonego rozkładu, a nie z samego wyświetlacza.

Załóżmy niezależne standardowe składniki: wzorcowanie 0,20 mm oraz idealne zaokrąglanie przy kroku 0,10 mm, dla którego u≈0,0289 mm. Łącznie otrzymamy √(0,20²+0,0289²)≈0,202 mm. Zmniejszenie kroku dziesięciokrotnie da około 0,200 mm, więc efekt będzie mały. Warto poprawiać składnik, który rzeczywiście dominuje w budżecie.

Oceny typu A i B opisują sposób uzyskania informacji, a nie automatycznie podział na zjawiska przypadkowe i systematyczne. Informację o wspólnej poprawce można uzyskać z serii wzorcowań, a o losowym zaokrąglaniu z założonego rozkładu. Każdy składnik wymaga określenia jednostki, modelu i ewentualnej zależności od pozostałych.

Zadania do tego tematu

• Wskazanie suwmiarki po poprawieniu przesunięcia zera
• Granica zaokrąglenia wagi o kroku 0,2 grama
• Specyfikacja miernika: procent wskazania i cyfry wyświetlacza
• Dwa termometry: mniejszy krok nie zawsze oznacza lepszy pomiar

Dalsza lektura

Materiał referencyjny