Zwierciadła sferyczne: obrazy rzeczywiste i pozorne

Potrzebne wiadomości: Prawo odbicia, ognisko i równania z odwrotnościami.

Krzywizna zmienia kierunki odbitych promieni

Płaskie lustro ma wszędzie równoległe normalne. Na powierzchni sferycznej normalne zbiegają się w środku sfery, więc równoległe promienie mogą po odbiciu zbliżać się do siebie albo rozchodzić. Wklęsłe zwierciadło potrafi dać obraz rzeczywisty przed powierzchnią. Wypukłe dla rzeczywistego przedmiotu daje obraz pozorny za nią.

Używamy modelu przyosiowego: promienie biegną blisko osi, pod małymi kątami. Bez tego zastrzeżenia zwierciadło sferyczne nie skupia wszystkich równoległych promieni w dokładnie jednym punkcie. Schemat z jedną ogniskową jest przybliżeniem, nie dowolnie dokładnym opisem każdego fragmentu sfery.

Przybliżenie promieni przyosiowych

Dla zwierciadła sferycznego i promieni blisko osi ogniskowa ma wartość f=R/2 ze znakiem dodatnim dla wklęsłego, ujemnym dla wypukłego. Stosujemy 1/f=1/x+1/y i powiększenie m=-y/x. Odległość rzeczywistego przedmiotu x jest dodatnia. Dodatnie y oznacza rzeczywisty obraz przed zwierciadłem, ujemne pozorny za nim.

Ustal znaki przed podstawieniem

Równanie 1/f = 1/x + 1/y dotyczy odległości ze znakami w opisanej konwencji. Nie przypisujemy y dodatniego znaku tylko dlatego, że linijka pokazuje dodatnią długość. Dodatnie y oznacza przecięcie rzeczywistych odbitych promieni przed lustrem, ujemne — przecięcie ich przedłużeń za lustrem.

Najwygodniej najpierw wyznaczyć 1/y = 1/f − 1/x, a potem odwrócić wynik. Jeśli f i x podajemy w centymetrach, wynik po prawej stronie ma jednostkę 1/cm, więc y wyjdzie w cm. Mieszanie 0,10 m z 30 cm bez przeliczenia zniszczy wynik, choć sam zapis równania wygląda poprawnie.

Trzy przydatne promienie

Promień równoległy do osi po odbiciu biegnie przez ognisko zwierciadła wklęsłego. Promień przechodzący przez ognisko odbija się równolegle. Promień skierowany ku środkowi krzywizny pada prostopadle i wraca tą samą drogą. Dla obrazu pozornego szukamy przecięcia przedłużeń promieni, nie samych rzeczywistych torów.

Dla f=10 cm i x=30 cm otrzymujemy y=15 cm oraz m=−0,5. Obraz jest rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony. Przy x=5 cm dostajemy y=−10 cm i m=2: obraz staje się pozorny, prosty, powiększony.

Zwierciadło wypukłe z rzeczywistym przedmiotem daje w tym modelu obraz pozorny i pomniejszony. Promienie dalekie od osi nie skupiają się idealnie w jednym punkcie: pojawia się aberracja sferyczna. Nie używamy tych rachunków do skupiania światła słonecznego; do bezpiecznych demonstracji wystarczy rozproszone oświetlenie i mały ekran.

Dwa sprawdzenia tego samego wyniku

Dla wklęsłego zwierciadła f = 10 cm i przedmiotu x = 30 cm mamy 1/y = 1/10 − 1/30 = 1/15 cm⁻¹. Zatem y = 15 cm. Jeśli przedmiot ma wysokość 4 cm, to m = −15/30 = −0,5 i wysokość ze znakiem wynosi −2 cm. Rysunek powinien pokazać odwróconą strzałkę pomiędzy ogniskiem a środkiem krzywizny, bo środek leży w 2f = 20 cm.

Przesuńmy ten sam przedmiot do x = 5 cm. Dostajemy 1/y = 1/10 − 1/5 = −1/10, więc y = −10 cm i m = +2. Teraz obraz jest prosty, powiększony i pozorny. Ten sam typ zwierciadła może więc dawać różne rodzaje obrazu — samo słowo „wklęsłe” nie wystarcza do odpowiedzi.

Granica x = f daje 1/y = 0. Odbite promienie są równoległe i nie tworzą obrazu w skończonej odległości. Nie oznacza to y = 0. Przejście przedmiotu przez ognisko zmienia znak y, co na rysunku odpowiada przejściu od rzeczywistego przecięcia do przecinających się przedłużeń.

Zadania do tego tematu

• Obraz na środku krzywizny zwierciadła
• Wypukłe zwierciadło i obraz za powierzchnią
• Przedmiot między ogniskiem a wklęsłym lustrem

Dalsza lektura

Materiał referencyjny