Szeregowy obwód RLC: napięcia dodajemy z uwzględnieniem fazy

Potrzebne wiadomości: Prąd sinusoidalny, wartości skuteczne, opór i elementy L oraz C.

Te same ampery, różne chwile maksymalnego napięcia

W szeregu R, L i C w każdej chwili płynie ten sam prąd. Napięcia nie osiągają jednak maksimum jednocześnie. Na idealnym oporniku napięcie jest w fazie z prądem; na cewce wyprzedza go o ćwierć okresu, na kondensatorze opóźnia się o ćwierć okresu. Dlatego sumowanie ich wartości skutecznych jak trzech dodatnich długości daje błędny wynik.

Przy częstości kołowej ω reaktancje wynoszą X_L = ωL i X_C = 1/(ωC). Mają jednostkę oma i określają stosunek wartości skutecznej napięcia elementu do prądu. Nie oznaczają jednak, że idealna cewka i kondensator zamieniają energię w ciepło tak jak opornik.

Trójkąt napięć wyprowadza impedancję

Przyjmijmy prąd jako odniesienie fazy. Napięcie IR rysujemy poziomo, IX_L pionowo do góry, IX_C pionowo w dół. Składowa pionowa napięcia źródła wynosi I(X_L − X_C). Z twierdzenia Pitagorasa:

U^2=(IR)^2+[I(X_L-X_C)]^2,\qquad Z=\frac UI=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}.

Dla R = 30 Ω, X_L = 80 Ω, X_C = 40 Ω i U = 100 V otrzymujemy Z = 50 Ω oraz I = 2 A. Napięcia elementów wynoszą 60 V, 160 V i 80 V. Nie sumujemy ich do 300 V. Różnica pionowa to 80 V, a przeciwprostokątna ma √(60² + 80²) = 100 V. Napięcie na samej cewce może być większe od napięcia źródła bez naruszenia bilansu.

Faza i moc są częścią odpowiedzi

Dla R dodatniego kąt napięcia źródła względem prądu spełnia tan φ = (X_L − X_C)/R. Jeśli przeważa cewka, kąt jest dodatni i napięcie wyprzedza prąd. Jeśli przeważa kondensator, kąt jest ujemny, a prąd wyprzedza napięcie. Moc czynna wynosi I²R = UI cos φ. Idealne L i C w ciągu okresu oddają tyle energii, ile pobierają; średnio nie zamieniają jej w ciepło.

Zamiana X_L = 80 Ω i X_C = 40 Ω na X_L = 40 Ω i X_C = 80 Ω przy tym samym R i U nie zmieni Z, I ani mocy 120 W. Odwróci natomiast znak kąta: z około +53,13° na −53,13°. Sama wartość prądu nie wystarczy do odróżnienia tych dwóch stanów.

Rezonans nie oznacza zniknięcia napięć elementów

Gdy ωL = 1/(ωC), pionowe składowe znoszą się. Impedancja osiąga R, a prąd U/R jest maksymalny przy stałych U i R. Stąd ω₀ = 1/√(LC), natomiast zwykła częstotliwość f₀ = ω₀/(2π). Dla L = 0,25 H i C = 4 µF otrzymujemy 1000 rad/s, czyli około 159,2 Hz — nie 1000 Hz.

Po podwojeniu częstotliwości X_L rośnie dwukrotnie, ale X_C maleje dwukrotnie. Układ na ogół oddala się od rezonansu. Wszystkie użyte wzory dotyczą stanu sinusoidalnego ustalonego, liniowych elementów i R obejmującego straty. Nie opisują chwili włączenia ani dowolnego sygnału niesinusoidalnego.

Symetria względem ilorazu, nie różnicy częstotliwości

Dla L=0,25 H i C=4 µF w rezonansie obie reaktancje mają 250 Ω. Niech r=f/f₀. Wtedy X_L=250r Ω, a X_C=250/r Ω. Przy r=2 różnica wynosi +375 Ω, zaś przy r=1/2 — −375 Ω. Ponieważ impedancja zawiera kwadrat tej różnicy, oba punkty mają tę samą wartość prądu.

Przy R=20 Ω i U=10 V otrzymujemy I=10/√(20²+375²) A≈0,02663 A, podczas gdy w rezonansie płynie 0,50 A. Na rysunku wąski szczyt nie oznacza nieskończonego prądu: ogranicza go dodatni opór. Poniżej rezonansu prąd wyprzedza napięcie, a powyżej się opóźnia; same jednakowe wartości skuteczne nie odróżnią tych przypadków.

W ogólności zmiana r na 1/r odwraca znak r−1/r i pozostawia jego kwadrat. Taką parę częstotliwości rozdzielają jednak nierówne odległości od f₀ na liniowej osi herców. Nie jest poprawne założenie, że dowolne f₀−Δf i f₀+Δf dadzą dokładnie te same prądy. Obserwujemy stan ustalony przy niezmienionym skutecznym napięciu źródła, a nie odpowiedź na włączenie zasilania.

Zadania do tego tematu

• Impedancja i moc przy przewadze reaktancji indukcyjnej
• Częstotliwość rezonansowa i prąd w rezonansie
• Przewaga pojemności i prąd wyprzedzający napięcie
• Co zmienia podwojenie częstotliwości obwodu będącego początkowo w rezonansie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny