Wartość skuteczna i transformator idealny

Potrzebne wiadomości: Moc elektryczna, funkcja sinus i prawo Faradaya.

Średnia napięcia i średnia mocy

W pierwszej połowie okresu sinusoidy napięcie jest dodatnie, a w drugiej ujemne. Średnia w pełnym okresie wynosi więc zero. Dla opornika prąd zmienia znak razem z napięciem. Iloczyn p(t) = u(t)i(t) jest przez to nieujemny w obu połowach okresu: energia jest doprowadzana do opornika, a nie raz doprowadzana, raz zwracana.

Podstawiamy i(t) = u(t)/R:

p(t)=\frac{U_{\max}^2}{R}\sin^2(\omega t).

Średnia wartość sin² w pełnym okresie wynosi 1/2. Można to zobaczyć z tożsamości sin²x = (1 − cos 2x)/2: średnia cosinusa znika. Otrzymujemy średnią moc U_max²/(2R). Tę samą moc dałoby stałe napięcie U_max/√2, co wyjaśnia definicję wartości skutecznej dla sinusoidy.

Co oznacza wartość skuteczna?

Wartość skuteczna prądu jest taką wartością prądu stałego, który w tym samym oporniku wydziela taką samą średnią moc. Dla sinusoidy u(t) = U_max sin(ωt):

U_{sk}=\frac{U_{max}}{\sqrt2},\qquad I_{sk}=\frac{I_{max}}{\sqrt2}.

Zależność z √2 dotyczy sinusoidy, nie dowolnego przebiegu. Ogólna definicja wartości skutecznej opiera się na pierwiastku ze średniej kwadratu wielkości. Kwadrat napięcia jest dodatni także wtedy, gdy samo napięcie zmienia znak.

Dla idealnego opornika średnia moc wynosi P = U_skI_sk = U_sk²/R. W ogólnym obwodzie sinusoidalnym trzeba uwzględnić przesunięcie fazowe: moc czynna wynosi U_skI_sk cos φ. Nie wolno automatycznie przyjmować cos φ = 1 dla dowolnego odbiornika.

Nie każdy przebieg dzielimy przez √2

Dla prostokątnego napięcia przyjmującego naprzemiennie wartości +U₀ i −U₀ kwadrat przez cały czas wynosi U₀². Napięcie skuteczne wynosi wtedy U₀, chociaż średnia nadal jest zerowa. Dlatego przed użyciem gotowego przelicznika sprawdzamy, jaki przebieg podano w zadaniu.

Porównaj sinusoidę z prostokątem

Opornik 6 Ω zasilamy najpierw napięciem sinusoidalnym o amplitudzie 12 V. Wartość skuteczna wynosi 12/√2 V, czyli około 8,49 V, a średnia moc 144/(2 · 6) = 12 W. Teraz napięcie ma przebieg prostokątny: przez pół okresu +12 V, przez drugie pół −12 V. Jego wartość skuteczna wynosi 12 V, a moc 144/6 = 24 W. Oba napięcia mają zerową średnią i tę samą amplitudę, ale drugi przebieg ogrzewa opornik z dwukrotnie większą średnią mocą. Różnicę wyjaśnia średnia kwadratu, nie sam znak napięcia.

Dlaczego liczby zwojów wyznaczają napięcia?

W idealnym transformatorze ten sam zmienny strumień obejmuje każdy zwój obu uzwojeń. Na jeden zwój przypada więc taka sama SEM. Uzwojenie z dwukrotnie większą liczbą zwojów ma dwukrotnie większą wartość napięcia. To wniosek z prawa Faradaya, a nie dodatkowa reguła mnożenia bez przyczyny.

Prądy wyznaczamy z drugiego warunku: idealny układ nie pobiera więcej ani mniej mocy niż oddaje obciążeniu. Dla obciążenia oporowego U₁I₁ = U₂I₂. Jeżeli napięcie spada dziesięciokrotnie, prąd wtórny jest dziesięciokrotnie większy od pierwotnego. Nie oznacza to, że wtórny prąd zawsze ma pewną stałą wartość: ustala go podłączone obciążenie. Transformator nie staje się źródłem dodatkowej energii.

Przekładnia transformatora

W transformatorze zmienny strumień wspólny dla uzwojeń indukuje w nich SEM. W modelu idealnym, bez strat i strumienia rozproszenia, stosunek napięć skutecznych jest równy stosunkowi liczb zwojów:

\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1},\qquad U_1I_1=U_2I_2.

Druga równość opisuje tutaj bilans mocy idealnego transformatora z obciążeniem oporowym i pomijalnym prądem magnesującym. Zmniejszeniu napięcia towarzyszy możliwość uzyskania większego prądu po stronie wtórnej — nie większej mocy niż dostarczona.

Przykład

Uzwojenie pierwotne ma 1000 zwojów, wtórne 100. Napięcie skuteczne 120 V po stronie pierwotnej daje 12 V po stronie wtórnej. Przy prądzie wtórnym 1 A moc wynosi 12 W, a prąd pierwotny w modelu idealnym 0,10 A.

Stałe napięcie podłączone do zwykłego transformatora nie daje ustalonej pracy opisanej przekładnią: potrzebna jest zmiana strumienia. Omawiane przykłady są zadaniami rachunkowymi. Nie stanowią instrukcji budowy transformatora ani wykonywania połączeń z napięciem sieciowym.

Warsztat: jakie obciążenie „widzi” źródło transformatora?

Idealny transformator ma przekładnię napięć a=N₁/N₂=10. Po stronie wtórnej dołączono opór 6 Ω, a po pierwotnej napięcie skuteczne wynosi 120 V. Dostajemy U₂=12 V i I₂=2 A. Z zachowania mocy prąd pierwotny wynosi 0,20 A. Iloraz napięcia i prądu po stronie źródła jest więc równy 600 Ω, a nie 6 Ω.

Ten wynik można otrzymać bez ponownego podstawiania liczb. Mamy U₁=aU₂ oraz I₁=I₂/a, więc:

R_{we}=\frac{U_1}{I_1}=a^2\frac{U_2}{I_2}=a^2R_2.

Kwadrat przekładni nie oznacza nowego opornika wydzielającego ciepło w idealnym transformatorze. To równoważny stosunek napięcia do prądu widziany od wejścia. Moc 24 W trafia do obciążenia wtórnego. Gdy jego opór zmniejszymy do 3 Ω przy tym samym napięciu pierwotnym, prąd wtórny wzrośnie do 4 A, pierwotny do 0,40 A, a moc do 48 W. Transformator nie ustala prądu niezależnie od odbiornika.

Wartość skuteczna przebiegu z przerwami

Niech napięcie na oporniku przyjmuje +10 V przez ćwierć okresu, −10 V przez kolejną ćwierć, a przez pozostałą połowę wynosi zero. Średnia napięcia jest zerowa. Średnia jego kwadratu to jednak (100 V²)·1/2=50 V², więc U_sk=√50 V≈7,07 V. Na oporniku 5 Ω daje to średnio 10 W. Wynik wygląda jak przeliczenie sinusoidy, ale wynika tu z innego kształtu i wypełnienia. Dla czasu niezerowego napięcia równego jednej czwartej całego okresu otrzymalibyśmy 5 V i 5 W. Przelicznik trzeba wyprowadzić z danego przebiegu; sama amplituda nie wystarcza.

Zadania do tego tematu

• Transformator — zadanie: napięcie wtórne i prąd pierwotny
• Prąd zmienny — zadanie: amplituda to nie wartość skuteczna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny