Prawo Archimedesa. Kiedy ciało pływa, a kiedy tonie?

Potrzebne wiadomości: Gęstość, ciężar i równowaga sił.

Kamień w wodzie nie traci masy

Bryłka zawieszona na siłomierzu mniej rozciąga sprężynę po zanurzeniu w wodzie. Nie trzeba z tego wyciągać wniosku, że ubyło jej materii. Przy założeniu, że ciało nie rozpuszcza się i nie nasiąka, masa jest taka sama. Zmienił się zestaw sił: oprócz ciężkości i siły od zawieszenia działa teraz wypadkowa siła nacisku wody, nazywana siłą wyporu.

Oddzielmy od razu trzy wielkości. Masa m jest wyrażana w kilogramach. Siła ciężkości, nazywana tu ciężarem, ma wartość F_g = mg i jest wyrażana w niutonach. Siłomierz mierzy napięcie swojego zawieszenia, oznaczane T. Jego wskazanie nie musi być równe mg, jeżeli ciało jest podtrzymywane także przez wodę.

Dlaczego woda wypycha w górę?

W spoczywającej cieczy ciśnienie rośnie z głębokością. Woda naciska na ciało ze wszystkich stron, nie tylko od dołu. Dla zanurzonego pionowego klocka siły na przeciwległe pionowe ścianki równoważą się poziomo. Dolna podstawa leży głębiej niż górna, więc jest naciskana mocniej. Wypadkowa jest skierowana w górę.

Nie wystarczy więc powiedzieć „woda naciska od dołu”. Naciska również od góry, a o wyniku decyduje różnica. Ta sama zasada wyjaśnia, dlaczego wypór działa także na tonący kamień. Może być po prostu zbyt mały, by równoważyć jego ciężar.

Od wypartej wody do prawa Archimedesa

Wyobraź sobie wodę, która zajmowałaby dokładnie miejsce zanurzonej części ciała. Przed włożeniem ciała taka porcja wody mogłaby pozostawać w spoczynku. Wypadkowa sił nacisku otaczającej wody równoważyłaby jej ciężar. Po zastąpieniu tej porcji ciałem o takim samym kształcie zewnętrznym otaczająca, spoczywająca woda wywiera taką samą wypadkową siłę. Stąd prawo Archimedesa: siła wyporu jest równa ciężarowi wypartego płynu.

Najpierw obliczamy masę wypartego płynu, a potem jego ciężar. Jeśli ρ_p oznacza gęstość płynu, a V_z jego wypartą objętość, to:

m_{\mathrm{wypartego}}=\rho_p V_z,\qquad F_w=m_{\mathrm{wypartego}}g=\rho_p gV_z.

We wzorze na wypór występuje gęstość płynu, nie gęstość materiału zanurzonego ciała. Dla sztywnego, szczelnego ciała V_z jest objętością części znajdującej się pod powierzchnią. Przy częściowym zanurzeniu nie wolno od razu podstawiać całej objętości V.

Sprawdzenie jednostek daje kg/m³ · N/kg · m³ = N. Wynik jest siłą. Na przykład wyparcie 100 cm³ wody o gęstości 1000 kg/m³ oznacza wyparcie 0,10 kg wody. Przy g = 10 N/kg jej ciężar, a więc i wypór, wynosi 1 N. Nie trzeba znać masy zanurzanego przedmiotu, aby wyznaczyć ten wypór.

Co pokazuje siłomierz?

Rozpatrzmy nieruchomą bryłkę wiszącą na napiętej nici i całkowicie zanurzoną, bez kontaktu z dnem. W górę działają T oraz F_w, a w dół F_g. Równowaga oznacza równość sum wartości sił skierowanych w przeciwnych stronach:

T+F_w=mg,\qquad T=mg-F_w.

Jeżeli mg = 5 N i F_w = 1 N, to zawieszenie musi zapewnić pozostałe 4 N. Nie dodajemy wyporu do ciężaru: wypór pomaga podtrzymywać ciało. Nie odejmujemy też niutonów od kilogramów. Od siły odejmujemy siłę.

Schemat sił dla bryłki z zadania. Długości strzałek odpowiadają wartościom sił. Strzałki rozsunięto poziomo dla czytelności; nie analizujemy tu obrotu ciała. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Taki zapis nie obejmuje wszystkich sytuacji. Ciało oparte na dnie otrzymuje dodatkową siłę podparcia. Lekki klocek przytrzymywany pod wodą ręką może wymagać siły skierowanej w dół. Jeżeli rachunek dla nici miałby dać T < 0, nie oznacza to „ujemnego wskazania”: nić nie potrafi pchać. Trzeba ponownie ustalić rzeczywisty układ sił.

Kiedy ciało zaczyna tonąć, a kiedy wypływać?

Dla całkowicie zanurzonego ciała, puszczonego swobodnie bez początkowej prędkości porównujemy wypór z ciężarem. W tym pierwszym opisie pomijamy opór ruchu. Jeśli F_w < mg, wypadkowa jest skierowana w dół i ciało zaczyna opadać. Jeśli F_w > mg, zaczyna przemieszczać się w górę. Równość oznacza brak pionowej siły wypadkowej w tym modelu, a nie automatyczne zatrzymanie poruszającego się przedmiotu.

Dla ciała o średniej gęstości ρ_c mamy m = ρ_cV. Przy pełnym zanurzeniu V_z = V, więc porównujemy ρ_pgV i ρ_cgV. Wspólne dodatnie czynniki gV nie rozstrzygają wyniku. Decyduje porównanie gęstości. Ciało gęstsze od cieczy zaczyna tonąć; ciało o mniejszej średniej gęstości może wypłynąć i ustalić częściowe zanurzenie.

Pływanie: dlaczego tylko część klocka jest pod wodą?

Gdy swobodnie pływający klocek spoczywa na powierzchni, siła wyporu już nie przewyższa jego ciężaru. Musi być mu równa. Inaczej klocek dalej przyspieszałby w pionie. Zapiszmy to kolejno:

F_w=mg,

\rho_p gV_z=\rho_c Vg,

\rho_p V_z=\rho_c V,\qquad \frac{V_z}{V}=\frac{\rho_c}{\rho_p}.

Skrócenie g jest dozwolone, bo ta sama wartość pojawia się po obu stronach. Nie oznacza, że siły przestały zależeć od g. Wyznaczyliśmy iloraz objętości, przy którym dwie siły równoważą się. Dla drewna o gęstości 600 kg/m³ w wodzie 1000 kg/m³ otrzymujemy V_z/V = 0,60: zanurzone jest 60% objętości.

Gdyby wynik ilorazu przekroczył 1, do równowagi potrzebowalibyśmy więcej wypartej wody, niż umożliwia całkowite zanurzenie tego ciała. Taki przedmiot nie może swobodnie pływać częściowo wynurzony w przyjętym modelu. Nie rysujemy go jako „zanurzonego w 120%”.

Udział objętości nie zawsze jest udziałem wysokości

Dla pionowego klocka o stałym polu poziomego przekroju S mamy V = SH i V_z = Sh. Tutaj H jest całą wysokością, a h wysokością zanurzoną. Dopiero teraz możemy skrócić S:

\frac{V_z}{V}=\frac{Sh}{SH}=\frac{h}{H}.

Jeżeli ρ_c = 750 kg/m³, to w wodzie zanurzone będzie 75% objętości. Przy stałym przekroju jest to również 75% wysokości. Z 12 cm otrzymujemy 9 cm pod wodą i 3 cm nad nią. Dla kuli albo kadłuba statku poziome przekroje zależą od wysokości; wtedy potrzebne jest inne powiązanie objętości z zanurzeniem.

Stały przekrój pozwala przejść od udziału objętości do udziału wysokości. Dla kuli lub przedmiotu zwężającego się ku górze nie można tego zrobić w ten sam sposób. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Głębiej nie zawsze znaczy większy wypór

Podczas zanurzania sztywnego ciała od powierzchni jego zanurzona objętość rośnie, więc wypór rośnie. Po pełnym zanurzeniu cała dostępna objętość już wypiera wodę. Jeśli ciecz ma stałą gęstość, a ciało pozostaje sztywne i szczelne, dalsze opuszczanie nie zwiększa V_z ani F_w.

Ciśnienie na górze i na dole rośnie, lecz różnica odpowiedzialna za wypadkową pozostaje taka sama. Używanie samego większego ciśnienia na dole, bez większego ciśnienia na górze, prowadziłoby do błędnego wniosku. Inaczej zachowa się ściskany pęcherzyk gazu, którego objętość maleje; ten przypadek wykracza poza model sztywnego ciała.

Jakie założenia trzeba sprawdzić?

W obliczeniach pomijamy wypór powietrza i napięcie powierzchniowe. Ciecz otacza zanurzoną część ciała; nie rozpatrujemy przedmiotu szczelnie przywartego do dna, pod który woda nie dociera. Przy pływaniu zakładamy brak podpory, naciągniętej nici i dodatkowego dociskania. To ważniejsze niż samo znalezienie we wzorach liter ρ, g i V.

Lekki stalowy spinacz na powierzchni może być podtrzymywany dzięki napięciu powierzchniowemu. Nie jest to dowód, że stal ma mniejszą gęstość niż woda. Ten przykład i pomiar różnicy wskazań siłomierza są omówione w istniejącej pracowni. Do powtórzenia przeliczeń objętości służy lekcja o gęstości i ciśnieniu.

Praktyczny pomiar masy, objętości i wskazań siłomierza znajdziesz w materiale Pracownia: gęstość, ciśnienie i wypór. Wyniki łatwiej zrozumieć, gdy najpierw rozróżnimy wielkości mierzone bezpośrednio i obliczane z innych pomiarów.

Ile dodatkowej masy utrzyma pływający klocek?

Do klocka o gęstości 750 kg/m³ i wysokości 12 cm dodajmy jedną informację: pole poziomego przekroju wynosi 100 cm². Nadal zakładamy stały przekrój, podstawy poziome, brak nasiąkania i mały, symetrycznie ustawiony ładunek. Jego objętości nie wliczamy do wypieranej wody, dopóki sam pozostaje nad powierzchnią. Zajmujemy się równowagą pionową, nie statecznością obrotową.

Cała objętość klocka wynosi 1200 cm³=0,0012 m³, a masa 750·0,0012=0,90 kg. Przy pełnym zanurzeniu wypiera on 1,20 kg wody. Graniczna dodatkowa masa to zatem 1,20−0,90=0,30 kg. To granica, przy której górna powierzchnia dochodzi do lustra wody; nie zostaje już zapas wynurzenia.

Prześledźmy mniejszy ładunek 0,10 kg. Wymaga wyparcia dodatkowych 0,10/1000=0,0001 m³, czyli 100 cm³ wody. Podzielone przez przekrój 100 cm² daje to 1 cm dodatkowego zanurzenia. Wysokość nad wodą maleje z 3 cm do 2 cm. Dla 0,20 kg pozostałby 1 cm, a dla 0,30 kg — zero.

\Delta h=\frac{m_{\mathrm{ladunku}}}{\rho_w S},\qquad m_{\max}=\rho_wV-m_{\mathrm{klocka}}.

Przy większym ładunku nie przedłużamy wykresu do „ujemnej wysokości nad wodą” jako opisu nowego pływania. Maksymalny wypór samego klocka już nie wystarcza. Potrzebowalibyśmy innej sytuacji, np. wyporu zanurzonego ładunku albo podpory. To podobna kontrola jak zakaz wpisywania zanurzenia 120%.

Zadania do tego tematu

• Siła wyporu — zadanie: wskazanie siłomierza w wodzie
• Pływanie — zadanie: jaką część klocka widać nad wodą?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny