Pływanie — zadanie: jaką część klocka widać nad wodą?

Rozwiązanie

1. Równowaga określa potrzebną objętość wypartej cieczy

Klocek nie jest podtrzymywany nicią ani oparty na dnie. Przy założeniach zadania działają na niego pionowo ciężar i wypór. Spokojne pływanie wymaga ich równości. Zapisujemy tę samą zależność kolejno przez masę i przez gęstość:

\rho_{\mathrm{wody}}gV_z=mg=\rho_{\mathrm{klocka}}Vg.

Dzielimy obie strony przez g oraz przez ρ_wodyV. Dostajemy V_z/V = 750/1000 = 0,75. Zanurzone jest zatem 75% objętości, a nie 75% objętości wystaje nad wodę.

2. Od objętości do wysokości

W treści celowo podano stałe pole poziomego przekroju i ustawienie podstaw. Dzięki temu V = SH i V_z = Sh, więc stosunek objętości jest stosunkiem wysokości. Zanurzona wysokość wynosi h = 0,75 · 12 cm = 9 cm.

H-h=12\ \mathrm{cm}-9\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{cm}.

Odpowiedź: nad powierzchnię wystają 3 cm klocka. Nie potrzebowaliśmy pola S ani wartości g, bo występowały po obu stronach równości i się skróciły. Nie znaczy to, że pole i g są nieważne przy liczeniu samych sił; tutaj szukaliśmy udziału zanurzenia.

Stały przekrój pozwala przejść od udziału objętości do udziału wysokości. Dla kuli lub przedmiotu zwężającego się ku górze nie można tego zrobić w ten sam sposób. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

3. Gęstsza ciecz, mniejsze zanurzenie

W drugiej cieczy wykonujemy ten sam bilans sił, ale podstawiamy jej gęstość. Nie zmieniamy ani gęstości klocka, ani jego całej wysokości:

\frac{V_z}{V}=\frac{750}{1250}=0{,}60.

Zanurzona wysokość to 0,60 · 12 cm = 7,2 cm, a wynurzona 12 − 7,2 = 4,8 cm. W drugiej cieczy nad powierzchnię wystaje 4,8 cm. Większa gęstość cieczy pozwala wyprzeć taką samą masę cieczy przy mniejszej objętości zanurzonej.

4. Która wielkość pozostała stała?

Zdanie ucznia jest błędne dla ustalonego swobodnego pływania. Gdyby wypór przewyższał ciężar, klocek miałby pionową siłę wypadkową i nie pozostawałby w takim stanie spoczynku. Po ustaleniu równowagi w obu cieczach F_w = mg. Masa klocka jest taka sama, więc także końcowa siła wyporu jest taka sama. Zmieniła się zanurzona objętość.

Inaczej porównujemy całkowicie zanurzony klocek przy niezmienionej objętości. Wtedy V_z = V w obu cieczach. Siła wyporu w cieczy 1250 kg/m³ byłaby 1250/1000 = 1,25 razy większa niż w wodzie. Dla tego lekkiego klocka pełne zanurzenie wymagałoby przytrzymania w dół; nie opisuje jego swobodnego spokojnego pływania.

To nie sprzeczność w prawie Archimedesa, tylko dwa różne porównania. Raz pozwalamy zmienić się zanurzeniu, aby siły znów się równoważyły. Drugi raz narzucamy tę samą wypartą objętość. Przed użyciem zdania „wzrosła gęstość, więc wzrósł wypór” trzeba powiedzieć, co utrzymujemy stałe.

Porównanie z zachowaniem tej samej masy

W wodzie iloczyn ρh wynosi 1000·0,09=90 kg/m². W drugiej cieczy wynosi 1250·0,072=90 kg/m². Po pomnożeniu przez wspólne pole S dostalibyśmy w obu przypadkach tę samą masę wypartej cieczy. Wysokość zanurzona zmalała o 20%: 7,2/9=0,8. To odwrotność wzrostu gęstości 1250/1000=1,25, a nie jego proste odjęcie od procentu zanurzenia. Rysunek w jednej skali pozwala sprawdzić zarówno jednakowe 12 cm całego klocka, jak i różne części nad powierzchnią.

Powiązana teoria

Prawo Archimedesa. Kiedy ciało pływa, a kiedy tonie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny