Prawo Pascala. Prasa zwiększa siłę, ale nie energię

Potrzebne wiadomości: Ciśnienie, praca stałej siły i objętość walca.

Co przenosi ciecz?

Dwa połączone cylindry napełniono cieczą i zamknięto ruchomymi tłokami. Naciskasz mały tłok, a duży podtrzymuje obciążenie. Łatwo powiedzieć, że prasa „przenosi siłę”. To jednak mylący skrót: po obu stronach siły mogą być różne. Przenoszony jest przyrost ciśnienia, a siła zależy jeszcze od pola tłoka.

Prawo Pascala mówi, że dodatkowe ciśnienie przyłożone do zamkniętej cieczy w stanie równowagi przenosi się na pozostałe jej części i ścianki. Nie mówi, że ciśnienie na każdej głębokości jest jednakowe. Głębiej nadal dochodzi składnik hydrostatyczny. W najprostszym modelu prasy porównujemy tłoki na tej samej wysokości albo pomijamy różnicę hydrostatyczną wobec ciśnienia roboczego.

Bilans sił na małym tłoku

Oznaczmy pole małego tłoka przez S₁, a przyłożoną w dół siłę przez F₁. Ciecz od spodu naciska w górę siłą pS₁. Od góry oprócz F₁ naciska powietrze. Pomijając ciężar i tarcie tłoka, dla powolnego ruchu lub równowagi zapisujemy:

pS_1=p_{\mathrm{atm}}S_1+F_1,\qquad p-p_{\mathrm{atm}}=\frac{F_1}{S_1}.

F₁/S₁ nie jest więc w tym przykładzie ciśnieniem bezwzględnym. Jest nadciśnieniem roboczym. Tak samo dla dużego tłoka obciążonego siłą F₂ mamy F₂/S₂. Przy jednakowym ciśnieniu atmosferycznym po obu stronach dostajemy:

\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2},\qquad F_2=F_1\frac{S_2}{S_1}.

Wielkość F₂ oznacza tutaj siłę obciążenia równoważoną przez prasę. To nie wypadkowa siła przyspieszająca tłok. W równowadze wypadkowa jest zerowa, choć prasa podtrzymuje duży ciężar.

Średnica to jeszcze nie pole

Przekrój tłoka jest kołem, więc S = πd²/4. Jeśli średnicę zwiększymy pięciokrotnie, pole wzrośnie dwadzieścia pięć razy. W ilorazie pól π i 4 skracają się:

\frac{S_2}{S_1}=\frac{\pi d_2^2/4}{\pi d_1^2/4}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2.

Dla średnic 2 cm i 10 cm stosunek pól wynosi 25, nie 5. Dlatego 100 N na małym tłoku pozwala równoważyć 2500 N na dużym. Możemy porównać średnice w centymetrach, bo tworzymy bezwymiarowy iloraz. Jeśli jednak chcemy policzyć ciśnienie w paskalach, musimy podać samo pole w metrach kwadratowych.

Dokąd trafia wypchnięta ciecz?

Nieściśliwa ciecz nie znika i nie zagęszcza się w dowolnym stopniu. Przesunięcie małego tłoka o x₁ wypycha objętość S₁x₁. Jeżeli układ jest szczelny, ta sama objętość unosi duży tłok. Jego przesunięcie oznaczmy x₂. Obie liczby są dodatnimi długościami, choć tłoki poruszają się w przeciwnych pionowych kierunkach.

S_1x_1=S_2x_2,\qquad x_2=x_1\frac{S_1}{S_2}.

Duże pole daje małe przesunięcie. Przy stosunku pól 25 podniesienie obciążenia o 8 mm wymaga przesunięcia małego tłoka o 200 mm, czyli 20 cm. Stosunek sił i stosunek dróg są odwrotne. To samo dotyczy wartości prędkości tłoków, jeśli rozpatrujemy ich powolny, ciągły ruch.

Gdzie znika obietnica darmowej energii?

Praca stałej siły zgodnej z przesunięciem to Fx. Połączmy równanie ciśnień z równaniem objętości. Zamiast zapamiętywać kolejny wynik, podstawmy do pracy na wyjściu:

W_2=F_2x_2=\left(F_1\frac{S_2}{S_1}\right)\left(x_1\frac{S_1}{S_2}\right)=F_1x_1=W_1.

Większa siła dokładnie równoważy krótszą drogę. Prasa nie mnoży pracy. W tym modelu pomijamy straty i zmianę energii potencjalnej samej cieczy. Gdy ta ostatnia jest istotna, trzeba dodać ją do bilansu energii, zamiast uznawać urządzenie za idealny mnożnik siły o niezmiennym przełożeniu.

Przykład: 40 N i dwa pola

Niech S₁ = 5 cm² i S₂ = 100 cm². Stosunek wynosi 20. Przy F₁ = 40 N duży tłok równoważy 800 N. Jeżeli mały tłok przesuniemy o 20 cm, duży przesunie się o 1 cm. W metrach otrzymujemy:

W_1=40\cdot0{,}20=8\ \mathrm{J},\qquad W_2=800\cdot0{,}01=8\ \mathrm{J}.

Wykres F(x) daje drugi sposób kontroli: pole pod stałą siłą jest prostokątem i oznacza pracę. Krótki, wysoki prostokąt może mieć taką samą powierzchnię jak długi, niski. Nie porównuj samych wysokości słupków sił, jeśli pytanie dotyczy energii.

Zaprojektuj prasę od strony obciążenia

Chcemy podtrzymać 3600 N siłą nie większą niż 120 N. Potrzebujemy stosunku pól co najmniej 30. Jeśli mały tłok ma 3 cm², duży powinien mieć przynajmniej 90 cm². Podniesienie obciążenia o 2 mm wymaga wtedy 60 mm ruchu małego tłoka. Praca wynosi po obu stronach 7,2 J. Przed wyborem wymiarów warto więc sprawdzić także dostępną drogę ruchu.

Co zmienia rzeczywista prasa?

Uszczelnienia stawiają opór, przewody odkształcają się, a ciecz jest nieco ściśliwa. Pęcherzyk powietrza może wyraźnie opóźnić ruch drugiego tłoka: część wciśniętej objętości najpierw spręża gaz. Wtedy prosty bilans dróg nie opisuje całej fazy ruchu. Przy stratach praca użyteczna jest mniejsza od dostarczonej.

Nie testuj tych zależności na samochodowym podnośniku ani pod obciążeniem. Mały szkolny model hydrauliczny pokazuje kierunek ruchu i wymianę drogi na siłę; dokładne porównanie wymaga uwzględnienia tarcia i pomiaru pól. Do różnic ciśnienia między poziomami wróć w lekcji o hydrostatyce.

Co dokładnie zmienia sprawność mniejsza od jedności?

Wróćmy do pól 5 cm² i 100 cm² oraz ruchu małego tłoka o 20 cm. Tym razem dodajmy wyraźnie inne założenie: szczelna, praktycznie nieściśliwa prasa pracuje z tarciem, a jej zmierzona sprawność mechaniczna przy powolnym ruchu wynosi 75%. Siła wejściowa jest stała i równa 40 N. Pomińmy zmianę energii potencjalnej cieczy i energii kinetycznej elementów.

Bilans objętości nadal wyznacza skok dużego tłoka: 5·20/100=1 cm. Nie zniknęła jedna czwarta cieczy. Praca wejściowa wynosi 40·0,20=8 J, z czego użyteczna praca wyjściowa to 0,75·8=6 J. Przy stałym obciążeniu oznacza to:

F_{2,\mathrm{uzyt}}=\frac{W_{2,\mathrm{uzyt}}}{x_2}=\frac{6\ \mathrm J}{0{,}01\ \mathrm m}=600\ \mathrm N.

Pozostałe 2 J zwiększają energię wewnętrzną układu i otoczenia. Idealne 800 N przy tej samej sile wejściowej dawałoby 8 J na wyjściu, więc nie byłoby zgodne z podaną sprawnością. Nie wolno tu jednocześnie użyć idealnej relacji sił i potem odjąć strat jeszcze raz. Wybraliśmy objętość do ustalenia drogi oraz sprawność do ustalenia pracy.

Dlaczego można było zamienić stosunek prac na stosunek sił? Siły w tym przykładzie są stałe, a drogi znane. Sama liczba „75%” bez określenia rodzaju sprawności i warunków pracy nie opisuje każdego rzeczywistego układu. Przeciek albo sprężanie gazu zmieniłyby również zależność dróg.

Zadania do tego tematu

• Prasa hydrauliczna — zadanie: siła i przesunięcie tłoka
• Prasa hydrauliczna — zadanie: podano średnice, nie pola

Dalsza lektura

Materiał referencyjny