Siła wyporu — zadanie: wskazanie siłomierza w wodzie

Rozwiązanie

1. Rysunek sił przed rachunkiem

Rozpatrujemy tylko bryłkę. Ciężar działa w dół. Nić ciągnie ją w górę, a woda wywiera wypadkową siłę wyporu również w górę. Bryłka spoczywa i nie dotyka dna, więc nie dodajemy siły od dna ani od ręki. Bilans pionowy ma postać T + F_w = mg.

2. Wyznaczamy ciężar i wypór osobno

Ciężar wynosi mg = 0,50 · 10 = 5 N. Objętość 100 cm³ przeliczamy na 0,0001 m³. Ponieważ cała bryłka jest pod wodą, właśnie tyle wody wypiera:

F_w=1000\ \mathrm{kg/m^3}\cdot10\ \mathrm{N/kg}\cdot0{,}0001\ \mathrm{m^3}=1\ \mathrm{N}.

We wzorze użyliśmy gęstości wody. Gęstość samej bryłki moglibyśmy obliczyć z 0,50 kg i jej objętości, ale nie jest ona potrzebna w tym miejscu. Wypór równoważy ciężar wypartej wody, nie ciężar całego metalu.

3. Siłomierz zapewnia brakującą część siły

T=mg-F_w=5\ \mathrm{N}-1\ \mathrm{N}=4\ \mathrm{N}.

Odpowiedź: siłomierz wskaże 4 N. Sprawdzenie: 4 N + 1 N = 5 N. Masa nadal wynosi 0,50 kg. Zmalała potrzebna siła podtrzymująca, nie masa. Gdyby bryłka dotknęła dna, bilans zawierałby dodatkową siłę i nie moglibyśmy bez zmian użyć poprzedniego równania.

Schemat sił dla bryłki z zadania. Długości strzałek odpowiadają wartościom sił. Strzałki rozsunięto poziomo dla czytelności; nie analizujemy tu obrotu ciała. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

4. Pełne zanurzenie nie jest początkiem dalszego wzrostu wyporu

Po opuszczeniu głębiej sztywna, całkowicie zanurzona bryłka nadal wypiera 100 cm³ wody. Gęstość wody się nie zmienia, więc wypór pozostaje równy 1 N, a wskazanie 4 N. Wzrost ciśnienia na dolnej stronie nie wystarcza jako argument za wzrostem wyporu: ciśnienie na górnej stronie również rośnie.

5. Najpierw rośnie objętość zanurzona, potem jest stała

Dodatkowe założenie o walcu pozwala powiązać h z objętością. Do 10 cm mamy V_z = 10 cm² · h. Dla h = 5 cm wyparta objętość wynosi 50 cm³, czyli połowę całej objętości, a wypór 0,5 N. Wskazanie wynosi wtedy 5 − 0,5 = 4,5 N. Przy h = 10 cm całość jest zanurzona. Dalsze zwiększanie h opisuje położenie, a nie dodatkową objętość walca.

Wykres najpierw maleje liniowo, a od h = 10 cm jest poziomy. Początkowy odcinek jest prosty dlatego, że walec ma stały przekrój. Nie przedłużamy go w dół bez końca. Wskazania z rzeczywistego pomiaru mogą się nieco różnić; trzeba wtedy sprawdzić odczyt, ruch, kontakt ze ścianką i założenia, a nie dopisywać do tabeli oczekiwanych liczb.

Wykres dotyczy powoli zanurzanego pionowego walca o wysokości 10 cm i stałym przekroju, nie dowolnej bryły. Po pełnym zanurzeniu wskazanie już nie maleje w tym modelu. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Rosną oba naciski, a nie tylko dolny

Dla dodatkowego walca o wysokości 0,10 m i polu 0,001 m² wybierzmy dwa pełne zanurzenia. Gdy górna podstawa jest 2 m pod powierzchnią, nadciśnienia na górze i dole wynoszą 20 i 21 kPa. Gdy górna podstawa jest 4 m pod powierzchnią, wynoszą 40 i 41 kPa. W obu przypadkach różnica 1 kPa, pomnożona przez 0,001 m², daje 1 N w górę. Składnik atmosferyczny dodany do obu podstaw też się znosi. To kontrola wyporu bez ponownego podstawienia do ρgV: wynik otrzymaliśmy, odejmując siły nacisku.

Powiązana teoria

Prawo Archimedesa. Kiedy ciało pływa, a kiedy tonie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny