Ciśnienie hydrostatyczne i odczyt manometru

Potrzebne wiadomości: Gęstość, ciśnienie i równowaga sił.

Ta sama woda, dwa różne wskazania

Wyobraź sobie dwa czujniki zanurzone obok siebie. Jeden pokazuje 132 kPa, drugi 30 kPa. Nie muszą być uszkodzone. Pierwszy może mierzyć ciśnienie bezwzględne, a drugi różnicę względem powietrza nad zbiornikiem. Zanim zaczniemy liczyć, ustalmy więc punkt odniesienia.

Ciśnienie bezwzględne odnosimy do próżni. Nadciśnienie względem atmosfery obliczamy jako p − p_atm. Na powierzchni otwartej wody nadciśnienie jest równe zeru, lecz ciśnienie bezwzględne nie znika. Zmiana zera skali nie usuwa sił wywieranych przez powietrze. Przy opisie pomiaru podawaj, którą z tych wielkości odczytujesz.

Wytnijmy w myślach słup cieczy

Wybieramy pionowy słup nieruchomej cieczy o polu podstawy S i wysokości h. Jego górna podstawa leży przy powierzchni, gdzie ciśnienie wynosi p₀. Na dole szukamy p. Ciecz ma stałą gęstość ρ. Objętość słupa to Sh, masa ρSh, a ciężar ρShg.

Dolna ciecz naciska na nasz słup w górę siłą pS. Od góry działa siła p₀S, a ciężar również jest skierowany w dół. Siły na pionowe boki nie mają pionowych składowych. Skoro słup nie przyspiesza, otrzymujemy:

pS-p_0S-\rho Shg=0.

Przenosimy ciężar na prawą stronę i dzielimy przez dodatnie S. Pole znika, ale różnica ciśnień pozostaje:

(p-p_0)S=\rho Shg,\qquad p=p_0+\rho gh.

Wynik zależy od pionowej głębokości, gęstości i ciśnienia na powierzchni. Nie zależy od szerokości zbiornika ani od długości drogi po jego ściance. Dla cieczy w naczyniu o innym kształcie możemy wybrać mały słup wewnątrz niej. Nie należy natomiast utożsamiać siły na całe dno z ciężarem całej cieczy w dowolnym naczyniu: pochyłe ścianki też mogą wywierać pionowe siły.

Co mówi nachylenie wykresu?

Przyjmijmy wodę o gęstości 1000 kg/m³ i g = 10 m/s². Iloczyn ρg wynosi 10 000 Pa/m. Każdy dodatkowy metr głębokości daje zatem 10 kPa przyrostu ciśnienia. Sprawdzenie jednostek: kg/m³ · m/s² · m = kg/(m·s²) = Pa.

Jeśli nad powierzchnią mamy 102 kPa, to na głębokości 1 m otrzymujemy 112 kPa, na 2 m — 122 kPa, a na 3 m — 132 kPa. Dla nadciśnienia odpowiednie wyniki to 10, 20 i 30 kPa. Wykresy mają jednakowe nachylenie, ale różne wartości początkowe.

Podwojenie głębokości podwaja nadciśnienie w tym modelu. Nie podwaja całego ciśnienia bezwzględnego, bo składnik atmosferyczny nie został pomnożony przez dwa. Podobnie obniżenie ciśnienia nad powierzchnią przesuwa cały wykres bez zmiany nachylenia.

Obliczenie w odwrotną stronę

Czujnik bezwzględny w wodzie pokazuje 125 kPa, a przy powierzchni zmierzono 100 kPa. Jak głęboko znajduje się czujnik? Najpierw odejmujemy ciśnienie powierzchniowe, dopiero potem dzielimy przez ρg:

h=\frac{p-p_0}{\rho g}=\frac{25\,000\ \mathrm{Pa}}{10\,000\ \mathrm{Pa/m}}=2{,}5\ \mathrm{m}.

Podstawienie samych 125 kPa dałoby 12,5 m — głębokość odpowiadającą całemu temu ciśnieniu przy zerowym ciśnieniu na powierzchni. To nie warunki naszego pomiaru.

Jak czytać U-rurkę bez zgadywania znaku?

W połączonej, jednorodnej cieczy w spoczynku punkty na tej samej wysokości mają jednakowe ciśnienie. Wybierzmy A na powierzchni cieczy przy gazie i B po drugiej stronie, na poziomie A. Jeżeli A leży niżej niż powierzchnia otwarta do atmosfery, do B dochodzimy od atmosfery w dół o Δh. Ciśnienie po drodze rośnie.

p_A=p_{\mathrm{gazu}},\qquad p_B=p_{\mathrm{atm}}+\rho g\Delta h,\qquad p_A=p_B.

Dla ρ = 800 kg/m³ i Δh = 0,25 m różnica wynosi 2000 Pa, czyli 2 kPa. Przy atmosferycznym 100 kPa gaz ma 102 kPa. Gdy powierzchnia po stronie gazu jest wyższa, gaz ma mniejsze ciśnienie: przy tej samej różnicy poziomów byłoby to 98 kPa. Nie wybieramy plusa dlatego, że we wzorze zwykle stoi plus. Wybieramy drogę przez ciecz i zaznaczamy, czy schodzimy, czy wchodzimy.

Pomijamy tu ciężar gazu, wpływ napięcia powierzchniowego w wąskiej rurce oraz ruch cieczy. Δh oznacza różnicę końcowych poziomów. Jeżeli jedno ramię obniżyło się o 5 cm, a drugie podniosło o 5 cm, różnica wynosi 10 cm, nie 5 cm.

Dwie warstwy: sumujemy przyrosty

Na wodzie leży 20 cm nierozpuszczającego się w niej oleju o gęstości 800 kg/m³. Punkt pomiaru jest jeszcze 30 cm niżej w wodzie. Dla g = 10 m/s² nadciśnienie względem powietrza wynosi:

\Delta p=\rho_o gh_o+\rho_w gh_w=800\cdot10\cdot0{,}20+1000\cdot10\cdot0{,}30=4600\ \mathrm{Pa}.

Nie wolno wstawić do wzoru jednej z gęstości i całej wysokości 50 cm. Każda warstwa wnosi własny przyrost. Na granicy przyjmujemy ciągłość ciśnienia, pomijając krzywiznę powierzchni i efekty kapilarne.

Kiedy ten opis przestaje wystarczać?

Założyliśmy spoczynek, prawie stałe g i stałą gęstość w każdej warstwie. Powietrze w atmosferze jest ściśliwe, więc przy dużej różnicy wysokości nie traktujemy jego gęstości jako jednej stałej. W przepływającej wodzie zmiana ciśnienia może też służyć przyspieszaniu cieczy. Tym przypadkiem zajmuje się lekcja o ciągłości i równaniu Bernoulliego.

Ciśnienie na pionowej ścianie nie jest wszędzie takie samo

Rozpatrzmy pionową prostokątną ściankę o szerokości 2 m. Po jednej stronie znajduje się woda do wysokości 1,2 m, po drugiej powietrze. Nad wodą i po zewnętrznej stronie panuje takie samo ciśnienie atmosferyczne. Nie obliczamy więc całej siły wody, lecz wypadkowy nacisk wody i powietrza na tę część ścianki. Składniki atmosferyczne się znoszą; pozostaje nadciśnienie ρgh.

Przy powierzchni nadciśnienie jest zerowe, przy dolnej krawędzi wynosi 1000·10·1,2=12000 Pa. Mnożenie tej ostatniej wartości przez całe pole 2·1,2=2,4 m² byłoby błędem: górne pasy nie są naciskane równie mocno jak dolne. Ponieważ nadciśnienie rośnie liniowo, a szerokość każdego poziomego pasa jest taka sama, średnia wynosi (0+12000)/2=6000 Pa.

F_{\mathrm{netto}}=p_{\mathrm{sr}}S=6000\cdot2{,}4=14400\ \mathrm N.

Na wykresie nadciśnienia względem głębokości otrzymujemy trójkąt. Jego pole ma jednostkę Pa·m. Pomnożenie przez szerokość 2 m daje niutony — sumę nacisków wszystkich wąskich pasów. To uzasadnia średnią, zamiast proponować ją jako kolejny wzór do zapamiętania. Przy podwojeniu wysokości wody rosną dwukrotnie zarówno średnie ciśnienie, jak i pole zanurzonej ściany, więc siła wzrasta czterokrotnie. To bilans siły; ocena wytrzymałości ściany wymagałaby jeszcze innych danych.

Zadania do tego tematu

• Hydrostatyka — zadanie: dwa wskazania na tej samej głębokości
• Manometr — zadanie: które ciśnienie jest większe?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny