Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego w zwężce

Potrzebne wiadomości: Gęstość, ciśnienie, energia kinetyczna i potencjalna.

Dwa pytania, dwa bilanse

Przewód zwęża się, a woda płynie szybciej. Najpierw chcemy wiedzieć, jaka będzie prędkość. Potem pytamy, jakie ciśnienie towarzyszy temu ruchowi. Odpowiedzi nie wynikają z jednego hasła „szybciej, więc mniejsze ciśnienie”. Pierwszą daje zachowanie masy, drugą bilans energii przy określonych założeniach.

Rozpatrujemy ustalony przepływ: w danym miejscu prędkość i ciśnienie nie zmieniają się z czasem, choć mogą być różne w różnych miejscach. Przewód jest szczelny i nie rozgałęzia się. Woda ma stałą gęstość. Przyjmujemy też prędkość w przekroju jako w przybliżeniu jednakową; rzeczywisty profil przy ściankach może wymagać dokładniejszego opisu.

Ile wody przechodzi w sekundę?

W czasie Δt woda przy przekroju S przesuwa się o vΔt. Objętość przechodząca przez przekrój wynosi SvΔt, a jej masa ρSvΔt. Jeśli w pewnym odcinku nie gromadzi się masa, tyle samo musi w tym czasie wpłynąć, ile wypłynąć:

\rho_1S_1v_1\Delta t=\rho_2S_2v_2\Delta t.

Po skróceniu czasu mamy równość strumieni masy. Dla nieściśliwej cieczy skraca się również gęstość:

S_1v_1=S_2v_2=Q,\qquad v_2=v_1\frac{S_1}{S_2}.

Q to objętościowe natężenie przepływu, w m³/s. Nie jest prędkością w m/s. Przez węższy przekrój przepływa ta sama objętość w sekundę, tylko z większą prędkością. Dla 8 cm² i 1,5 m/s otrzymujemy Q = 0,0012 m³/s = 1,2 l/s. W przekroju 2 cm² prędkość wyniesie 6 m/s.

Kto wykonuje pracę?

W czasie małego przesunięcia porcja o objętości ΔV wpływa na jednym końcu rozpatrywanego odcinka i taka sama objętość wypływa na drugim. Na wejściu siła ciśnienia wykonuje pracę p₁S₁Δx₁ = p₁ΔV. Na wyjściu płyn musi wypchnąć płyn przed sobą, co odejmuje p₂ΔV. Wypadkowa praca ciśnienia wynosi (p₁ − p₂)ΔV.

Przy braku strat, pompy i turbiny ta praca pokrywa zmianę energii kinetycznej i potencjalnej odpowiadającej masy ρΔV. Dla punktów na tej samej linii prądu zapisujemy:

(p_1-p_2)\Delta V=\frac{\rho\Delta V}{2}(v_2^2-v_1^2)+\rho g\Delta V(h_2-h_1).

Dzielimy przez ΔV i przenosimy wielkości dotyczące tego samego punktu na tę samą stronę:

p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho gh_1=p_2+\frac{\rho v_2^2}{2}+\rho gh_2.

To równanie Bernoulliego dla ustalonego, idealnego przepływu nieściśliwego. Wysokości mierzymy od wspólnego poziomu. Wszystkie składniki mają jednostkę Pa = J/m³. Składnik ρv²/2 opisuje energię kinetyczną na objętość; ciśnienie p jest ciśnieniem statycznym. Nie dodajemy ich bezmyślnie do odczytu dowolnego czujnika: sposób pomiaru ma znaczenie.

Pozioma zwężka: policzmy oba końce

Wróćmy do pól 8 cm² i 2 cm². Dla wody ρ = 1000 kg/m³, prędkości 1,5 i 6 m/s oraz p₁ = 200 kPa wysokości są równe. Człony ρgh odejmują się. Pozostaje:

p_2=p_1+\frac{\rho}{2}(v_1^2-v_2^2)=200\,000+500(2{,}25-36)=183\,125\ \mathrm{Pa}.

Spadek wynosi 16,875 kPa. W części szerszej składnik kinetyczny to 1,125 kPa, w węższej 18 kPa. Obie sumy p + ρv²/2 dają 201,125 kPa. Jest to kontrola rachunku, a nie nowe niezależne założenie.

Jeżeli dalszy fragment przewodu wznosi się o 2 m bez zmiany przekroju, prędkość się nie zmienia, ale ciśnienie idealnie maleje o ρg · 2 m. Przy g = 10 m/s² jest to dodatkowe 20 kPa. Przykład pokazuje, dlaczego samo porównanie prędkości nie wystarcza, kiedy różnią się wysokości.

Otwór w zbiorniku: dlaczego znika ciśnienie atmosferyczne?

Wybierz punkt 1 na powierzchni dużego otwartego zbiornika i punkt 2 w strudze tuż przy wylocie. Nad powierzchnią oraz na swobodnej strudze panuje w przybliżeniu to samo ciśnienie atmosferyczne. Powierzchnia opada powoli, więc v₁ pomijamy. Jej poziom jest o H wyżej niż wylot. W równaniu zostaje:

p_{\mathrm{atm}}+\rho gH=p_{\mathrm{atm}}+\frac{\rho v^2}{2},\qquad v=\sqrt{2gH}.

Dla H = 1,8 m i g = 10 m/s² otrzymujemy v = 6 m/s. Ciśnienie atmosferyczne nie jest zerowe: skróciło się po obu stronach. Tak samo skróciła się gęstość. Dwa razy większa głębokość daje prędkość większą o czynnik √2, a nie dwa razy większą.

W rzeczywistym odpływie poziom zwykle maleje, a z nim maleje prędkość. Wynik opisuje wtedy przybliżenie dla bieżącego H. Struga z otworu o ostrej krawędzi może też zwęzić się po opuszczeniu otworu. Aby liczyć Q z pola samego otworu, trzeba uwzględnić tę różnicę albo jawnie przyjąć model bez zwężenia strugi i strat.

Trzy kontrole przed podstawieniem liczb

Najpierw sprawdź ciągłość: czy między przekrojami nie ma dopływu, odpływu lub zmiany gęstości? Następnie sprawdź energię: czy w odcinku nie pracuje pompa, turbina albo znaczny opór? Na końcu zaznacz poziomy i rodzaj ciśnienia. Możesz używać nadciśnień zamiast ciśnień bezwzględnych, jeśli odejmujesz tę samą stałą wartość odniesienia w obu punktach.

W poziomym przewodzie o stałym przekroju model idealny daje stałe ciśnienie. Rzeczywisty długi przewód ma spadek ciśnienia wskutek lepkości. Nie obalamy tym bilansu energii; trzeba go rozszerzyć o straty. Gdy rachunek przewiduje zbyt niskie ciśnienie bezwzględne, może dojść do powstawania pary i kawitacji — założenie jednej, ciągłej cieczy przestaje opisywać sytuację. Dla spoczynku v = 0 równanie wraca do znanej zależności hydrostatycznej.

Zwężka jako przyrząd pomiarowy: rachunek w odwrotną stronę

Dotąd prędkość była dana. A jeśli czujniki mierzą tylko różnicę ciśnień? Dla poziomej idealnej zwężki o polach 8 cm² i 2 cm² ciągłość daje v₂=4v₁. Wstawiamy tę relację do bilansu energii, zamiast wprowadzać drugą niezależną niewiadomą:

\Delta p=p_1-p_2=\frac{\rho}{2}(v_2^2-v_1^2)=\frac{\rho}{2}(16-1)v_1^2.

Przy zmierzonej różnicy 16,875 kPa i gęstości 1000 kg/m³ mamy v₁²=2·16875/(1000·15)=2,25 m²/s², czyli szybkość 1,5 m/s. Natężenie przepływu wynosi następnie Q=S₁v₁=0,0008·1,5=0,0012 m³/s=1,2 l/s. Ciśnienie posłużyło do wyznaczenia szybkości, a pole — do wyznaczenia objętości na sekundę.

Jeśli w tych samych warunkach idealnych różnica ciśnień wzrośnie czterokrotnie, szybkość i Q wzrosną tylko dwukrotnie. Na wykresie Δp względem Q² powstaje prosta; wykres względem samego Q byłby parabolą. Równania zawierają kwadraty, dlatego same dwa odczyty ciśnienia nie rozstrzygają zwrotu przepływu. Opisaliśmy wartość natężenia, przyjmując wcześniej zwrot.

W rzeczywistym przepływomierzu straty i profil prędkości wymagają kalibracji albo poprawki modelu. Pompa między punktami pomiaru lub różnica wysokości zmieniłyby bilans. Nie zamieniamy więc szkolnego wzoru na obietnicę dokładności dowolnego przyrządu.

Zadania do tego tematu

• Przepływ — zadanie: prędkość i ciśnienie w zwężce
• Wypływ ze zbiornika — zadanie: prawo Torricellego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny