Łączenie kondensatorów: wspólne napięcie czy wspólny ładunek?

Potrzebne wiadomości: Pojemność, energia kondensatora i bilans ładunku.

Najpierw węzły, potem wzór

Na schemacie liczą się połączenia okładek, nie ich położenie na kartce. Dwa kondensatory podłączone do tej samej pary węzłów mają jednakowe napięcie. Łączny ładunek pobrany przez jedną stronę układu to suma Q₁ + Q₂. Ponieważ Q₁ = C₁U i Q₂ = C₂U:

Q=(C_1+C_2)U,\qquad C_{\parallel}=C_1+C_2.

Dołączenie równoległego kondensatora zwiększa pojemność. To dodatkowe miejsce do rozdzielenia ładunków przy niezmienionym napięciu. Dla 2 µF i 3 µF przy 4 V otrzymujemy odpowiednio 8 µC i 12 µC; suma 20 µC odpowiada jednemu kondensatorowi 5 µF.

Skąd równy ładunek w szeregu?

Między dwoma elementami szeregu znajduje się połączenie dwóch wewnętrznych okładek. Jeśli ten węzeł był początkowo obojętny i nie wymienia ładunku z otoczeniem, jego suma ładunków musi pozostać zerowa. Jedna wewnętrzna okładka ma wtedy −Q, druga +Q. Oba kondensatory mają tę samą wartość ładunku, choć niekoniecznie to samo napięcie.

Napięcia szeregu się dodają. Podstawienie U₁ = Q/C₁ i U₂ = Q/C₂ daje:

U=Q\left(\frac1{C_1}+\frac1{C_2}\right),\qquad \frac1{C_s}=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}.

Dla 2 µF i 3 µF w szeregu mamy Cₛ = 1,2 µF. Przy 10 V ładunek wynosi 12 µC, a napięcia 6 V i 4 V. Mniejsza pojemność otrzymuje większe napięcie. To odwrotna zależność niż spadki napięć na dwóch szeregowych opornikach. Wstępnie naładowany wewnętrzny węzeł wymaga osobnego bilansu; skrót „w szeregu ładunki równe” nie jest bezwarunkową regułą.

Naładowany element dołączamy do pustego

Kondensator 1 µF naładowany do 4 V łączymy równolegle zgodnymi biegunami z takim samym, lecz nienaładowanym. Układ jest odłączony od źródła. Na odpowiedniej połączonej stronie pozostają łącznie 4 µC. Końcowa pojemność 2 µF daje napięcie 2 V. Każdy kondensator ma wtedy 2 µC.

Przed połączeniem energia wynosiła 8 µJ, po ustaleniu wspólnego napięcia 4 µJ. Nie zniknęły cztery mikrodżule energii całego układu. Przejściowy prąd przekazał energię między innymi oporowi przewodów, a w rzeczywistym procesie mogą mieć znaczenie również pole magnetyczne i promieniowanie. Model bez żadnego tłumienia nie gwarantowałby spokojnego dojścia do końcowej równowagi.

Gdy oba były wcześniej naładowane

Dwa jednakowe kondensatory 1 µF mają napięcia 4 V i 2 V. Łączymy je zgodnymi biegunami, bez zewnętrznego źródła. Łączny ładunek jednej połączonej strony wynosi 6 µC, a wspólne napięcie 3 V. Energia maleje z 8 + 2 = 10 µJ do 9 µJ. Gdy początkowe napięcia byłyby jednakowe, nie wystąpiłby prąd wyrównawczy ani taki spadek energii. To różnica napięć uruchamia proces; samo połączenie dwóch kondensatorów nie wymusza utraty połowy energii w każdym przypadku.

Warsztat: kiedy ładunki w szeregu przestają być równe?

Zostawmy 2 µF i 3 µF między końcami o potencjałach 10 V i 0 V, ale nadajmy wewnętrznemu, izolowanemu węzłowi ładunek +2 µC. Oznaczmy jego potencjał przez Vₘ. Ładunki obu okładek należących do tego węzła dodają się do zadanych 2 µC:

(2\ \mu\mathrm F)(V_m-10\ \mathrm V)+(3\ \mu\mathrm F)(V_m-0\ \mathrm V)=2\ \mu\mathrm C.

Po zebraniu wyrazów: (5 µF)Vₘ=22 µC, zatem Vₘ=4,4 V. Pierwszy kondensator ma napięcie 5,6 V i wartość ładunku 11,2 µC. Drugi ma 4,4 V oraz 13,2 µC. Wewnętrzne okładki mają odpowiednio −11,2 i +13,2 µC, więc ich suma rzeczywiście wynosi +2 µC. Schemat jest szeregowy, lecz nie wolno było narzucić jednakowych Q. Brakującym warunkiem poprzedniego skrótu była początkowa obojętność węzła.

Ile energii oddaje wyrównywanie napięć?

Dla dwóch kondensatorów łączonych równolegle bez źródła końcowe napięcie jest średnią ważoną: Uₖ=(C₁U₁+C₂U₂)/(C₁+C₂), gdzie napięcia mają znaki zgodne z wybraną parą łączonych węzłów. Po podstawieniu do energii początkowej i końcowej otrzymujemy:

E_{\mathrm{pocz}}-E_{\text{końc}}=\frac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}(U_1-U_2)^2.

To zawsze liczba nieujemna. Znika dla jednakowych napięć, a nie tylko dla pustych kondensatorów. Dla 2 µF przy 6 V i 4 µF przy 0 V daje 24 µJ. Wniosek nie mówi, że energia całego układu znikła. Dotyczy różnicy energii pól po stłumieniu prądów przejściowych; w idealnym obwodzie bez tłumienia taki stan końcowy nie musi się ustalić.

Zadania do tego tematu

• Dwa kondensatory szeregowe dzielą napięcie nierówno
• Równoległe połączenie i kontrola sumy energii
• Połączenie mieszane z kondensatorem i gałęzią równoległą
• Wyrównanie napięcia dwóch kondensatorów nie zachowuje samej energii pola

Dalsza lektura

Materiał referencyjny