Kondensator płaski: pojemność, ładunek i energia

Potrzebne wiadomości: Napięcie, ładunek, pole powierzchni i energia.

Dwie okładki, jeden bilans całego kondensatora

Przenosimy elektrony z jednej metalowej okładki na drugą. Na jednej pozostaje niedobór, na drugiej nadmiar. Jeśli zaczynaliśmy od obojętnych okładek i jedynie przenosiliśmy ładunek między nimi, występują ładunki +Q i −Q. Cały kondensator ma zerowy ładunek, ale między okładkami istnieje pole. W zapisie pojemności Q oznacza wartość ładunku jednej okładki, nie sumę obu.

Dla elementu liniowego napięcie jest proporcjonalne do Q. Pojemność określa tę proporcję:

Q=CU,\qquad C=\frac{Q}{U}.

Jeden farad to kulomb na wolt. Przy Q = 0 i U = 0 nie próbujemy obliczać pojemności jako 0/0: C jest własnością zależności Q(U), którą można wyznaczyć z jej nachylenia lub z geometrii. Zwiększenie napięcia tego samego liniowego kondensatora nie oznacza zwiększenia C.

Co zmienia powierzchnia i odstęp?

Dla dużych płaskich okładek w próżni, z dala od brzegów, pole między nimi ma wartość Q/(ε₀A). Napięcie między okładkami jest równe Ed. Podstawiając obie zależności do Q/U, otrzymujemy:

C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.

Podwojenie powierzchni A umożliwia zgromadzenie dwa razy większego Q przy tym samym napięciu. Podwojenie odstępu d zmniejsza C dwukrotnie. Model wymaga odstępu małego względem rozmiarów okładek, próżni i pomijalnych efektów brzegowych. Przyjmujemy ε₀ = 8,85 · 10⁻¹² F/m; pole powierzchni podajemy w m², a odstęp w m.

Dlaczego energia nie jest równa QU?

Pierwszą małą porcję ładunku przenosimy przy niemal zerowym napięciu. Każdą następną przy coraz większym. Przy ładowaniu liniowego kondensatora od zera średnie napięcie podczas przenoszenia ładunku wynosi połowę końcowego U. Energia odpowiada więc polu trójkąta pod wykresem U(Q), a nie prostokąta:

E=\frac12 QU=\frac12 CU^2=\frac{Q^2}{2C}.

Dla C = 2 µF i U = 5 V otrzymujemy Q = 10 µC oraz E = 25 µJ. Jeśli napięcie wzrośnie do 10 V, ładunek wyniesie 20 µC, a energia 100 µJ. Podwojenie napięcia daje czterokrotny wzrost energii, ponieważ równocześnie rosną Q i średnie napięcie ładowania.

Ta sama zmiana geometrii, dwa różne warunki

Podwojmy odstęp okładek kondensatora 2 nF naładowanego do 4 V. Gdy wcześniej go odłączymy i odizolujemy, Q = 8 nC pozostaje stałe. Pojemność spada do 1 nF, napięcie rośnie do 8 V, a energia z 16 do 32 nJ. Dodatkowe 16 nJ pochodzi z pracy rozdzielania przyciągających się okładek.

Jeśli zamiast tego idealne źródło utrzymuje 4 V, końcowy ładunek wyniesie 4 nC, a energia pola 8 nJ. Część ładunku wraca do źródła; trzeba uwzględnić także jego bilans energii. Dlatego pytanie „co zostaje stałe?” stawiamy przed wyborem wygodnej postaci wzoru na E.

Warsztat: dlaczego źródło zmienia bilans rozsuwania?

Wróćmy do okładek o początkowej pojemności 2 nF przy 4 V. Po podwojeniu odstępu pojemność wynosi 1 nF. W przypadku odłączonym energia wzrasta z 16 do 32 nJ: powolne rozsuwanie wymaga 16 nJ pracy. Teraz pozostawmy idealne źródło 4 V. Końcowa energia pola to 8 nJ. Czy zatem okładki same się odpychają? Nie. Nadal się przyciągają, a bilans musi objąć źródło.

Ładunek jednej dodatniej okładki spada z 8 do 4 nC. Zmiana ΔQ wynosi −4 nC. Praca źródła na układzie elektrycznym jest ujemna:

W_{\text{źródła}}=U\Delta Q=(4\ \mathrm V)(-4\ \mathrm{nC})=-16\ \mathrm{nJ}.

Źródło odbiera 16 nJ. Pole traci jednak tylko 8 nJ. Pozostałe 8 nJ dostarcza osoba powoli rozdzielająca okładki: ΔE=Wźródła+Wzewn, czyli −8=−16+8, w nanodżulach. W obu doświadczeniach praca rozdzielania jest dodatnia, ale niejednakowa. Przy stałym napięciu podczas rozsuwania maleje ładunek, a wraz z nim siła przyciągania.

Dla idealnych płaskich okładek siłę można sprawdzić przez energię. Przy stałym Q mamy E=Q²d/(2ε₀A), więc wartość przyciągania wynosi Q²/(2ε₀A). Po zastąpieniu Q przez ε₀AU/d otrzymujemy ε₀AU²/(2d²). Nie różniczkujemy jednak samego CU²/2 przy stałym U, pomijając źródło: taki skrót dałby zły znak pracy mechanicznej.

Sprawdź sam

Czy przy ponownym powolnym zbliżeniu okładek bilans się odwróci? W bezstratnym modelu tak. Po drodze rzeczywiste straty, upływ ładunku i efekty brzegowe mogą zmienić liczby; nie zmieniają zasady uwzględnienia wszystkich przekazów energii.

Zadania do tego tematu

• Ładunek i energia małego kondensatora przy sześciu woltach
• Pojemność wyznaczona z geometrii dwóch okładek
• Rozsuwanie odłączonych okładek wymaga pracy
• Dwukrotne napięcie: porównanie ładunku i energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny