Dielektryk w kondensatorze: najpierw sprawdź, czy odłączono źródło

Potrzebne wiadomości: Pojemność i energia kondensatora, polaryzacja oraz bilans pracy.

Dielektryk nie zwiera okładek

Między naładowane okładki wsuwamy materiał izolujący. Jego ładunki związane nie mogą swobodnie przepłynąć od jednej okładki do drugiej jak w przewodniku. Mogą jednak nieco się przesunąć lub uporządkować. Powstaje polaryzacja, a związane ładunki na powierzchniach materiału wpływają na pole w szczelinie.

Dla jednorodnego liniowego dielektryka całkowicie wypełniającego szczelinę przyjmujemy C = κC₀. Liczba κ jest względną przenikalnością, a C₀ pojemnością tej samej geometrii bez dielektryka. Pomijamy straty, nieliniowość i efekty brzegowe. Częściowe wypełnienie lub materiał o nieliniowej odpowiedzi wymaga innego opisu — nie zawsze wystarczy podstawić pełne κ.

Najważniejsze pytanie: czy źródło jest podłączone?

Wyobraźmy sobie ten sam kondensator C₀ = 2 nF, początkowo przy 6 V. Jego swobodny ładunek wynosi 12 nC, energia 36 nJ. W obu doświadczeniach wsuwamy materiał o κ = 3, więc końcowa pojemność to 6 nF. Dalszy rachunek rozdziela się na dwie drogi.

Odłączony: zachowujemy swobodny ładunek

Jeżeli okładki są idealnie odizolowane, dodatkowe elektrony nie mają skąd napłynąć. Q pozostaje równe 12 nC. Napięcie wynosi zatem 12 nC / 6 nF = 2 V. Energia Q²/(2C) maleje do 12 nJ. Różnica 24 nJ może zostać przekazana mechanicznie: pole wciąga dielektryk, a przy powolnym ruchu hamująca siła zewnętrzna wykonuje pracę −24 nJ. Ładunki związane w dielektryku zmieniają rozkład pola, lecz nie są nowym swobodnym ładunkiem dostarczonym na okładki.

Ogólnie przy stałym Q zarówno U, jak i energia maleją κ razy. Użycie CU²/2 z nową pojemnością i dawnym napięciem narzuciłoby dwa sprzeczne warunki: rosnące C i stałe U wymagałyby dodatkowego ładunku.

Podłączony: zachowujemy napięcie

Idealne źródło utrzymuje 6 V. Przekazuje zatem dodatkowy ładunek na okładki: końcowe Q wynosi 36 nC, czyli o 24 nC więcej. Energia pola rośnie do 108 nJ, o 72 nJ. Czy wzrost energii oznacza, że pole wypycha dielektryk? Nie: trzeba dodać do bilansu źródło.

Przy stałym napięciu praca źródła wynosi UΔQ = 6 V · 24 nC = 144 nJ. Po odjęciu przyrostu energii pola zostaje 72 nJ dodatniej pracy mechanicznej pola. Dielektryk nadal może być wciągany. Hamująca siła zewnętrzna wykonuje −72 nJ. W granicy powolnego, bezstratnego procesu obliczamy ten sam wynik symbolicznie:

W_z=U^2\Delta C,\qquad \Delta E_{\mathrm{pola}}=\frac12 U^2\Delta C,\qquad W_{\mathrm{mech}}=\frac12 U^2\Delta C.

Sprawdź na innym materiale

Dla κ = 2, przy tych samych początkowych 2 nF i 6 V, odłączony kondensator osiągnie 3 V i 18 nJ. Podłączony pozostanie przy 6 V, zgromadzi 24 nC i 72 nJ; źródło dostarczy 72 nJ, z których 36 nJ zwiększy energię pola, a 36 nJ może stać się pracą mechaniczną. Kierunek możliwej pracy wynika z pełnego bilansu, nie z samego znaku zmiany energii pola.

Warsztat: „połowa dielektryka” to jeszcze nie opis geometrii

Założenie pełnego wypełnienia jest istotne. Rozważmy idealne płaskie okładki o powierzchni A i odstępie d oraz materiał κ=3. Pomijamy pola przy brzegach i granicach dwóch obszarów. Najpierw materiał wypełnia całą grubość szczeliny, ale tylko połowę powierzchni okładek. Dwie części leżą obok siebie i mają to samo napięcie. Traktujemy je jak równoległe kondensatory o pojemnościach C₀/2 oraz 3C₀/2. Razem otrzymujemy 2C₀.

Teraz materiał pokrywa całą powierzchnię, lecz wypełnia tylko połowę grubości szczeliny. Pozostała połowa to próżnia. Oba obszary pola leżą jeden za drugim: dodają się spadki napięcia, a nie pojemności. Wynik dla tego warstwowego modelu jest inny:

\frac1C=\frac{d/2}{\varepsilon_0 A}+\frac{d/2}{3\varepsilon_0 A},\qquad C=\frac32 C_0.

W obu konfiguracjach materiał zajmował połowę objętości szczeliny, ale uzyskaliśmy 2C₀ albo 1,5C₀. Nie istnieje jeden uniwersalny mnożnik dla samego zdania „włożono połowę dielektryka”. Kierunek warstw względem pola jest częścią danych.

Porównanie liczbowe

Dla C₀=2 nF i początkowego U₀=6 V odłączony kondensator ma Q=12 nC. W pierwszej geometrii kończy z C=4 nF, U=3 V i E=18 nJ. W drugiej z C=3 nF, U=4 V i E=24 nJ. Obie energie są mniejsze od początkowych 36 nJ, lecz o różne wartości. Gdyby źródło pozostało podłączone, należałoby w obu przypadkach zachować 6 V i ponownie obliczyć Q, zamiast przenosić wyniki dla układu izolowanego.

Zadania do tego tematu

• Izolowany kondensator po pełnym wsunięciu dielektryka
• Ten sam dielektryk przy pozostawionym źródle napięcia
• Gdzie trafia energia dostarczona przez źródło podczas wsuwania izolatora?
• Czy dwukrotnie większe napięcie po izolacji jest zgodne z wsunięciem dielektryka?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny