Trzecia zasada dynamiki: dlaczego akcja i reakcja nie zatrzymują ruchu?

Potrzebne wiadomości: Siła jako wektor, masa i druga zasada dynamiki.

Najpierw nazwij obu uczestników

Zdanie „działa siła 6 N” pozostawia najważniejsze pytania bez odpowiedzi: co działa i na co? W trzeciej zasadzie zawsze występują dwaj uczestnicy. Wózek A naciska wózek B, a B naciska A. Człowiek naciska podłogę stopą, podłoga naciska człowieka. Ziemia przyciąga książkę, książka przyciąga Ziemię. Nazwanie nadawcy i odbiorcy siły jest pewniejszą metodą niż szukanie na jednym rysunku dwóch przeciwnych strzałek o tej samej długości.

Nie ma tu kolejności czasowej sugerowanej przez słowa „akcja” i „reakcja”. W zwykłym szkolnym modelu kontaktu oba oddziaływania występują jednocześnie. Sprężyna nie musi najpierw popchnąć pierwszego wózka, poczekać na jego ruch i dopiero popchnąć drugiego. Siły pary mają wspólny mechanizm: obie są kontaktowe albo obie grawitacyjne. Ciężar książki i jej podparcie mają różnych sprawców i różne mechanizmy, dlatego nie stanowią takiej pary, choć przy spoczynku są równe.

Dwa ciała, dwa równania

Dla pary oddziałujących ciał A i B w szkolnym opisie klasycznym mamy \vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}. Siły są równe co do wartości i przeciwne, ale nie sumujemy ich w równaniu ruchu jednego z tych ciał. Dopiero po potraktowaniu obu ciał jako jednego układu ta para staje się wewnętrzna.

Książkę na stole Ziemia przyciąga w dół, a stół podtrzymuje w górę. Te siły mogą się równoważyć, lecz nie są parą akcja–reakcja. Partnerem siły Ziemi na książkę jest siła książki na Ziemię. Partnerem siły stołu na książkę jest nacisk książki na stół.

Przykład z dwoma wózkami

Dwa wózki A i B, o masach 2 kg i 3 kg, rozsuwa ściśnięta lekka sprężyna S. W wybranej chwili sprężyna działa na każdy wózek siłą o wartości 6 N. Przy pomijalnych innych siłach poziomych wartości przyspieszeń wynoszą odpowiednio 3 m/s² i 2 m/s², a ich zwroty są przeciwne.

Te dwie siły na wózki nie są partnerami z trzeciej zasady. Partnerem siły sprężyny na A jest siła A na sprężynę. Osobną parę tworzą siła sprężyny na B i siła B na sprężynę. Równość sił na obu końcach wynika dodatkowo z przyjęcia pomijalnej masy sprężyny: jej pozioma wypadkowa musi być pomijalna. Dla masywnej sprężyny podczas rozpędzania nie wolno automatycznie przyjąć jednakowych sił na końcach.

Jeśli granica układu obejmuje A, sprężynę S i B, wszystkie te oddziaływania są wewnętrzne i znoszą się parami w sumie równań. Jeśli obejmuje wyłącznie dwa wózki, siły sprężyny są zewnętrzne wobec tak wybranego układu; w tej idealizacji ich suma pozioma także wynosi zero, lecz nie nazywamy ich przez to parą akcja–reakcja. Zerowa wypadkowa zewnętrzna ogranicza przyspieszenie środka masy, a nie zmianę odległości między wózkami.

W ogólniejszym opisie elektromagnetycznym bilans pędu może wymagać uwzględnienia pola; tutaj pozostajemy przy prostych oddziaływaniach mechanicznych.

Kolor identyfikuje parę o zamienionym sprawcy i odbiorcy. Przeciwne siły sprężyny na dwa wózki należą do różnych par. Kliknij rysunek, aby odczytać go w pełnym rozmiarze.

Siły tej samej pary przypisano różnym ciałom. Strzałki sił są równe, mimo różnych przyspieszeń. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Dlaczego dwie równe siły dają różne skutki?

Druga zasada odnosi wypadkową do masy konkretnego ciała. Dla dwóch wózków, na które działa wyłącznie wzajemne poziome oddziaływanie, piszemy osobno m₁a₁ = F i m₂a₂ = −F. Zestawienie równań daje m₁a₁ = −m₂a₂. Nie wynika stąd a₁ = −a₂, dopóki masy nie są równe. Wózek o mniejszej masie ma większą wartość przyspieszenia. To samo dotyczy bardzo nierównych mas: przyciąganie jabłka przez Ziemię i Ziemi przez jabłko ma tę samą wartość, ale przyspieszenie Ziemi jest niedostrzegalnie małe.

Rozróżniaj siłę wzajemną i wypadkową. Jeżeli jeden z wózków przytrzymujesz ręką, pojawia się dodatkowa siła zewnętrzna. Równość oddziaływań między wózkami nadal obowiązuje, lecz nie wolno już twierdzić, że ich wypadkowe mają równe wartości. To częsty błąd w przykładzie dużego i małego samochodu: siły kontaktu są równe, ale przyspieszenia zależą również od mas i innych oddziaływań. Nie trzeba porównywać uszkodzeń, by ustalić parę sił.

Przykład: wspólny ruch dwóch klocków

Klocki 2 kg i 3 kg stoją obok siebie na idealnie gładkim stole. Pchamy lżejszy poziomo siłą 20 N. Dla obu razem jedyną zewnętrzną siłą poziomą jest 20 N, więc a = 20/5 = 4 m/s². Aby rozpędzać sam klocek 3 kg z takim przyspieszeniem, kontakt musi działać na niego siłą 12 N. Ten klocek naciska lżejszy siłą 12 N wstecz. Na lżejszym pozostaje wypadkowa 20−12 = 8 N; dzieląc przez 2 kg, znów otrzymujemy 4 m/s².

W równaniu całego układu wewnętrzne siły +12 N i −12 N skróciły się. W równaniu pojedynczego klocka nie wolno ich skrócić, bo jedna nie działa na ten klocek. Pomocny zapis to dwie osobne ramki: w każdej umieszczasz jedno ciało i tylko strzałki do niego przypisane. Dopiero dodanie pełnych równań obu ramek pozwala usunąć siły wewnętrzne. Samo wykreślenie dwóch podobnych strzałek z niepodpisanego obrazka nie jest analizą układu.

Przykład: jak da się chodzić?

Stopa podczas odepchnięcia naciska podłoże wstecz. Podłoże działa na stopę siłą tarcia skierowaną do przodu. Pierwsza z tych sił działa na podłoże, druga na człowieka. Człowieka rozpędza druga, więc nie równoważy jej jego własny nacisk na Ziemię. Na śliskim lodzie maksymalna dostępna siła styczna jest mała i trudniej się rozpędzić. Sam fakt wykonywania ruchów nogami nie zapewnia dużej wypadkowej poziomej.

Możemy zmienić granicę układu i objąć nią człowieka wraz z Ziemią. Wtedy siły między stopą a podłożem stają się wewnętrzne. Nie wynika z tego zakaz chodzenia: człowiek zmienia położenie względem podłoża, a ogromna Ziemia uzyskuje przeciwną, praktycznie niemierzalną zmianę ruchu. Zerowa wypadkowa zewnętrzna ogranicza ruch środka masy całego układu, a nie odległość między jego częściami.

Napięcie, równowaga i szybka kontrola

Siłomierz rozciągany z obu końców siłami po 100 N wskazuje 100 N. Jego sprężyna przekazuje napięcie 100 N przez każdy przekrój. Wypadkowa działająca na cały przyrząd jest zerowa, dlatego nie przyspiesza; nie oznacza to, że sprężyna jest nierozciągnięta. Zastąpienie jednej osoby sztywnym uchwytem nie zmieni wskazania, jeśli druga nadal ciągnie siłą 100 N. Ta zamiana pozwala zobaczyć, dlaczego ani 0 N, ani 200 N nie jest poprawnym odczytem.

Sprawdź się: dwie osoby odpychają się na lodzie. Pierwsza ma dwa razy większą masę. Która działa większą siłą? Odpowiedź: żadna; wartości wzajemnych sił są równe. Przy pomijalnych oporach cięższa osoba ma dwa razy mniejsze przyspieszenie. Jednostki a = F/m są m/s². Jeżeli otrzymasz różne siły wzajemne wyłącznie z powodu różnych mas, pomieszałeś trzecią zasadę z porównaniem przyspieszeń.

Granica układu jest częścią rozwiązania

Przy dwóch klockach warto zapisać dwa opisy tego samego doświadczenia. Nazwijmy siłę kontaktu na drugi klocek C. Dla pchnięcia pierwszego siłą F otrzymujemy:

F-C=m_1a,\qquad C=m_2a.

Dodanie daje F=(m_1+m_2)a. To samo równanie dostalibyśmy, obrysowując oba klocki jedną granicą. Równość przyspieszeń jest dodatkowym warunkiem wspólnego ruchu, nie treścią trzeciej zasady. Gdyby klocki się rozdzieliły, nie wolno byłoby zachować jednego a tylko dlatego, że wcześniej się stykały.

Po odzyskaniu przyspieszenia wracamy do mniejszego układu. Wynika stąd C=F m_2/(m_1+m_2). Część całej siły potrzebna na rozpędzenie drugiego klocka jest proporcjonalna do jego udziału w całkowitej masie. Rysunek sił nie staje się zbędny po uzyskaniu wzoru: mówi, którego klocka masa ma trafić do licznika i w którą stronę działa kontakt. Jednostka ułamka mas jest równa jeden, więc C pozostaje siłą.

Drugi punkt widzenia na ten temat: Strzałki czerwone łączymy w parę tylko wewnątrz jednej konfiguracji. Zmiana strony pchania to inne doświadczenie. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Zadania do tego tematu

• Dwie osoby na lodzie odpychają się z różnymi przyspieszeniami
• Książka na stole i właściwe pary sił
• Dwa stykające się klocki: siła kontaktu zależy od miejsca pchania
• Siłomierz między dwiema osobami ciągnącymi po sto niutonów

Dalsza lektura

Materiał referencyjny