Praca siły: kiedy iloczyn Fs trzeba uzupełnić o znak i kąt?

Potrzebne wiadomości: Siła, przemieszczenie, cosinus i pole trapezu.

Zmęczenie nie jest miernikiem pracy mechanicznej

Trzymanie ciężkiej torby w nieruchomej ręce męczy, choć siła podtrzymująca nie wykonuje wtedy pracy mechanicznej nad torbą: jej punkt przyłożenia nie przemieszcza się. Mięśnie zużywają energię przez procesy wewnętrzne, których ten prosty rachunek nie obejmuje. Z kolei przesunięcie lekkiego przedmiotu na dużą odległość może oznaczać większą pracę niż krótkie szarpnięcie ciężkiego. Musimy ustalić zarówno siłę, jak i przemieszczenie, którego dotyczy jej działanie.

Praca jest skalarem, czyli liczbą ze znakiem, a nie wektorem. Dla stałej siły i prostoliniowego przemieszczenia zapis W = Fs cosα mówi, że liczy się część siły równoległa do ruchu. Kąt α mierzymy między wektorem siły a przemieszczeniem, nie zawsze względem podłogi. Jeżeli przesuwamy walizkę poziomo, kąt linki ponad poziomem jest właściwy. Gdy jednak ciało przemieszcza się po pochyłej powierzchni, trzeba porównać linkę z kierunkiem tego przemieszczenia.

Stała siła i prosta droga

Dla stałej siły zapisujemy W=\vec F\cdot\Delta\vec r=Fs\cos\alpha, gdzie α jest kątem między siłą a przemieszczeniem. Praca jest skalarem, lecz może być dodatnia lub ujemna. Siła zgodna z przemieszczeniem wykonuje pracę dodatnią, przeciwna ujemną, a prostopadła zerową. Jednostką jest dżul, czyli N·m.

Torba podnoszona o 0,5 m przy stałej sile ręki 40 N otrzymuje od tej siły 20 J pracy. Jeżeli przesuwamy ją poziomo przy wyłącznie pionowej sile podtrzymującej, praca tej składowej jest zerowa. Organizm nadal może zużywać energię; nie jest ona w tym modelu równa pracy wykonanej na nieruchomej lub poziomo przesuwanej torbie przez pionowe podparcie.

Siła zmienna

Jeżeli składowa siły zależy od położenia, praca jest polem ze znakiem pod wykresem Fₓ(x). Podczas powolnego rozciągania idealnej sprężyny zewnętrzna siła rozciągająca rośnie liniowo od zera do kx. Jej dodatnią pracę pole trójkąta opisuje wzorem W=kx^2/2. Siła sprężyny wykonuje w tym samym ruchu pracę ujemną −kx²/2. Użycie końcowej siły na całej drodze zawyżyłoby wartość pracy dwa razy.

Praca wypadkowej jest równa zmianie energii kinetycznej punktu materialnego. W rozbudowanych układach trzeba precyzyjnie określić, na czym wykonano pracę i co obejmuje energia. Sam zapis „siła razy droga ciała” nie zastępuje kontroli kierunku, punktu przyłożenia i zmienności siły.

Praca jest polem ze znakiem pod wykresem Fₓ(x). Wysokość końcowa 12 N nie opisuje całej drogi. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Skąd bierze się znak?

Przy zgodnych zwrotach α = 0 i cosα = 1, więc W = Fs. Przy przeciwnych α = 180° i cosα = −1, więc W = −Fs. Przy prostopadłych α = 90° i praca tej siły jest zerowa. Ujemny wynik nie jest ujemną długością drogi; oznacza ujemny wkład danej siły do zmiany energii kinetycznej ciała. Na poziomym stole ciężar i podparcie mogą być duże, ale przy czysto poziomym ruchu nie wykonują pracy. Nie należy przez to usuwać ich z rysunku sił, bo decydują choćby o tarciu.

W jednym wymiarze równoważny zapis to W = FₓΔx, gdzie obie wielkości są składowymi ze znakami. Gdy ciało jedzie w lewo i siła również działa w lewo, oba czynniki są ujemne, a praca dodatnia. To dobra kontrola: o znaku pracy decyduje wzajemne ustawienie siły i ruchu, a nie wybrany przez nas dodatni zwrot osi.

Przykład: praca linki nie jest pracą wszystkich sił

Przesuwamy walizkę o 8 m siłą 20 N nachyloną pod kątem 60° do poziomu. Składowa pozioma ma 20 cos 60° = 10 N, więc W = 80 J. Załóżmy dodatkowo, że opór ma stałą wartość 6 N. Jego praca wynosi −48 J, a ciężaru i podparcia zero. Całkowita praca wszystkich sił to 32 J. Tyle wynosi przyrost energii kinetycznej w tym modelu. Gdyby opór miał 10 N, praca linki nadal wynosiłaby 80 J, lecz całkowita praca byłaby zerowa i szybkość nie zmieniałaby się.

Widać, dlaczego w zadaniu pytającym wyłącznie o pracę ręki nie potrzebujemy od razu masy walizki. Masa może być potrzebna do obliczenia zmiany szybkości albo oporu, ale nie do mnożenia znanej składowej siły przez znane przemieszczenie. Z drugiej strony samo podanie pracy linki nie uprawnia do zapisania \Delta E_k=W_{\mathrm{linki}}, jeśli inne siły także wykonują pracę.

Siła zmienna: dzielimy drogę na kawałki

Jeśli siła rośnie podczas przesuwania, iloczyn jej końcowej wartości i całej drogi przypisuje największą siłę także początkowi ruchu. Lepszy pomysł to podzielić drogę na krótkie odcinki. Na każdym siła jest niemal stała, więc praca wynosi w przybliżeniu FₓΔx. Dodanie prac wszystkich odcinków prowadzi do pola pod wykresem Fₓ(x). Fragmenty nad osią mają dodatni wkład, pod osią ujemny. W zapisie całkowym ta suma przyjmuje postać W=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx.

Dla liniowego wzrostu od 4 do 12 N na odcinku 5 m pole jest trapezem: W = (4+12)·5/2 = 40 J. Można rozciąć je na prostokąt 4·5 = 20 J i trójkąt (12−4)·5/2 = 20 J. Średnia arytmetyczna sił działa tutaj dlatego, że wykres jest prostą. Dla dowolnego zakrzywionego wykresu nie wystarczy znać dwóch wartości na końcach. Jednostki pola są N·m = J, a nie N·s: wykres względem czasu dotyczyłby impulsu.

Przykład: dwie trasy na półkę

Podnosimy plecak 2 kg o 3 m przy g = 10 m/s². Grawitacja wykonuje pracę −60 J. Gdy część trasy prowadzi poziomo, jej wkład jest zerowy. Gdy najpierw wchodzimy o 4 m, a potem schodzimy o 1 m, prace wynoszą −80 J i +20 J; suma nadal daje −60 J. W jednorodnym polu praca ciężaru zależy od różnicy wysokości, a nie długości krętej trasy. Nie oznacza to identycznego wysiłku człowieka albo identycznych strat przy tarciu.

Sprawdź się: ciało porusza się po okręgu, a siła jest stale skierowana do środka. Czy duża wartość tej siły musi zwiększać szybkość? Odpowiedź: nie. W każdej chwili siła jest prostopadła do chwilowego przemieszczenia i nie wykonuje pracy. Może zmieniać kierunek prędkości bez zmiany jej wartości. Wzór W = Fs wymaga więc warunku zgodności kierunków; bez niego może prowadzić do całkowicie błędnego wniosku.

Praca na wykresie: kierunek przejścia także ma znaczenie

Wzór całkowy zawiera przemieszczenie ze znakiem. Jeśli znana siła zależy tylko od położenia, to przejście z x = 0 do x = 5 m pod wykresem od 4 do 12 N daje +40 J, a przejście tą samą drogą z x = 5 do x = 0 daje −40 J. Granice całki zamieniły się miejscami. Nie rysujemy w drodze powrotnej nowej dodatniej „powierzchni pracy” tylko dlatego, że obszar na kartce nadal leży nad osią.

Tarcie kinetyczne zachowuje się inaczej: na nieruchomym podłożu jego zwrot zmienia się wraz ze zwrotem ślizgania. Przy tarciu 10 N na odcinku 3 m praca wynosi −30 J w jedną stronę i −30 J w drugą. Podczas powrotu zarówno siła, jak i przemieszczenie mają inne znaki, lecz nadal są przeciwne. Suma wynosi −60 J. Nie możemy przedstawić tarcia na całej trasie jako jednej funkcji samego położenia, nie uwzględniając kierunku ruchu.

Prześledź dwa rachunki: grawitacja przy podnoszeniu plecaka 2 kg o 3 m i opuszczeniu go z powrotem daje −60+60 = 0 J. Tarcie na poziomej drodze tam i z powrotem daje −30−30 = −60 J. To konkretna różnica między siłą zachowawczą i takim modelem oporu. Nie wynika ona z tego, czy droga ma zakręty, tylko z zależności pracy od całej historii ruchu.

Zadania do tego tematu

• Uchwyt walizki ustawiony pod kątem sześćdziesięciu stopni
• Ujemna praca tarcia na trzy metry przesunięcia
• Praca siły rosnącej liniowo z położeniem
• Dwie trasy podnoszenia tego samego plecaka

Dalsza lektura

Materiał referencyjny