Energia mechaniczna z tarciem: energia nie znika, tylko zmienia postać

Potrzebne wiadomości: Energia kinetyczna, energia potencjalna i praca siły.

Wybór układu porządkuje słowo „strata”

Przesuń dłonie po sobie. Ruch wyhamowuje, a powierzchnie się ogrzewają. Energia kinetyczna uporządkowanego ruchu maleje, lecz nie znika z rachunku całego świata. Część trafia do energii wewnętrznej dłoni, część może zostać przekazana dalej. Gdy mówimy o stracie energii mechanicznej, wskazujemy jej przejście do postaci, której nie obejmuje suma energii kinetycznej i potencjalnej. Utożsamienie energii mechanicznej z każdą energią jest źródłem pozornego naruszenia zasady zachowania.

Najpierw określ granicę układu. Przy analizie klocka i Ziemi możemy uwzględnić energię potencjalną grawitacji mgh. Jeżeli sprężyna również należy do układu, dodajemy kx²/2. Praca siły z zewnątrz lub transfer energii do pominiętego podłoża musi zostać dopisany osobno. W szkolnym opisie ruchu postępowego klocka po nieruchomym podłożu zapis Δ(Eₖ+Eₚ) = W_{\mathrm{tarcia}} jest wygodny. Nie stanowi ogólnego modelu cieplnego wszystkich kontaktujących się ciał.

Ustal granice układu

Dla ruchu w polu grawitacyjnym i z idealną sprężyną zapisujemy energię mechaniczną jako sumę energii kinetycznej, grawitacyjnej i sprężystości. Praca sił niezachowawczych zmienia tę sumę: E_{mech,2}-E_{mech,1}=W_{nz}. W prostym modelu ślizgania po nieruchomym podłożu praca tarcia wynosi −Fₖs.

Po rozszerzeniu układu o podłoże spadek energii mechanicznej można powiązać ze wzrostem energii wewnętrznej, drganiami i innymi postaciami energii. Nie utożsamiamy jednak automatycznie całej różnicy z ciepłem przekazanym jednemu wybranemu ciału.

Przykład

Klocek 2 kg startuje ze spoczynku na wysokości 3 m. Po drodze tarcie wykonuje pracę −20 J. Dla g = 10 m/s² energia początkowa wynosi 60 J, a na dole zostaje 40 J energii kinetycznej. Z mv^2/2=40 otrzymujemy v≈6,32 m/s, mniej niż bez tarcia.

Jeżeli bilans daje ujemną energię kinetyczną na końcu zakładanej drogi, nie wyciągamy pierwiastka z ujemnej liczby. To sygnał, że ciało nie dotrze do tego miejsca przy zadanych warunkach. Wtedy trzeba znaleźć punkt zatrzymania i sprawdzić dalsze siły. Bilans energii określa szybkość, ale zwykle nie daje samodzielnie czasu ruchu ani napięcia linki.

Suma energii pozostaje 40 J. Maleje energia mechaniczna, a nie energia całkowita. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Najpierw stany, potem równanie

Narysuj położenie początkowe i końcowe oraz ustal poziom zerowy energii potencjalnej. Zapisz, które składniki występują w każdym stanie. Klocek puszczony ze spoczynku ma początkowo Eₖ = 0; u dołu wybranego zjazdu może mieć Eₚ = 0. To dwa różne zera wynikające z różnych powodów. Poziom energii potencjalnej można przesunąć, lecz różnica mgh się nie zmieni. Energia kinetyczna nie może stać się ujemna wskutek innego wyboru poziomu.

Dla stałego tarcia kinetycznego na poziomej drodze s praca wynosi −μkmgs. Równanie zatrzymywania przyjmuje postać 0−mv₀²/2 = −μkmgs. Dwa minusy opisują spadek energii i pracę hamującą. Po skróceniu masy i rozwiązaniu względem drogi dostajemy s = v₀²/(2μkg). Dwa razy większa szybkość początkowa oznacza cztery razy dłuższą drogę. To nie jest skutek podwójnego tarcia; energia do rozliczenia wzrosła czterokrotnie.

Przykład: hamowanie i niezależna kontrola

Przy v₀ = 6 m/s, μk = 0,30 oraz g = 10 m/s² droga wynosi 6 m. Masa może mieć 1 kg lub 5 kg: w tym modelu tarcie i energia początkowa rosną w tej samej proporcji. Możemy sprawdzić wynik przez dynamikę. Opóźnienie ma wartość μkg = 3 m/s², więc czas hamowania to 2 s. Średnia szybkość przy jednostajnym hamowaniu wynosi 3 m/s, co przez 2 s daje 6 m. Zgodność dwóch metod jest mocniejsza niż powtórzenie tego samego podstawienia.

Jeżeli otrzymasz z bilansu ujemną energię kinetyczną, zatrzymaj rachunek. Przykładowo Eₖ = 30−5s daje zero przy s = 6 m. Podstawienie s = 8 m i wynik −10 J oznaczają, że ciało nie dotarło do założonego miejsca przy samym ślizganiu. Nie należy wyciągać pierwiastka z ujemnej liczby ani zmieniać jej na dodatnią „żeby się zgadzało”. Trzeba poprawić opis etapu ruchu.

Przykład: sprężyna, a potem szorstki tor

Sprężyna o k = 100 N/m ściśnięta o 0,10 m ma energię 0,50 J. Idealnie przekazuje ją klockowi 0,20 kg na gładkim odcinku. Dopiero później klocek przejeżdża 0,50 m po powierzchni z μk = 0,20. Przy g = 10 m/s² tarcie ma 0,40 N, więc praca wynosi −0,20 J. Na końcu zostaje 0,30 J. Z równania mv²/2 = 0,30 J otrzymujemy v = √3≈1,73 m/s.

Ta sama sprężyna pozwoliłaby na szorstkim poziomym odcinku przebyć najwyżej 0,50/0,40 = 1,25 m, jeśli od początku dysponowalibyśmy całymi 0,50 J. Nasz odcinek 0,50 m jest krótszy, więc dodatni wynik energii jest spójny z możliwością dojazdu. Podział na etapy chroni przed odjęciem tarcia tam, gdzie go nie ma, albo pozostawieniem energii sprężyny w bilansie po całkowitym jej oddaniu.

Energia a szybkość

Dla klocka 2 kg zjeżdżającego z wysokości 2 m energia początkowa wynosi 40 J. Jeżeli tarcie odbierze z mechanicznego bilansu 20 J, na dole pozostanie połowa energii kinetycznej wariantu bez tarcia. Szybkość będzie jednak równa 1/√2 szybkości bez strat, a nie połowie. Wynika to z kwadratu v we wzorze na energię. Tę różnicę warto przewidzieć przed wstawieniem liczb, aby nie mylić proporcji energii i szybkości.

Sprawdź się: podwajamy masę klocka na tej samej wysokości i przy tym samym μk. Czy droga hamowania na poziomym odcinku musi wzrosnąć dwa razy? Odpowiedź: nie, jeśli początkowa szybkość jest ta sama i obowiązuje przyjęty model. Energia i siła tarcia wzrosną dwukrotnie, a ich iloraz da tę samą drogę. Dżul podzielony przez niuton ma jednostkę metra. W układzie z oporem zależnym inaczej od masy wynik mógłby być inny.

Dodatnia energia na końcu nie wystarcza, aby pokonać każdą przeszkodę

Bilans trzeba móc spełnić również w punktach pośrednich. Wyobraź sobie gładki tor z pagórkiem, bez napędu i tarcia. Klocek 1 kg wyrusza z poziomu h = 0 z energią kinetyczną 12 J. Za pagórkiem tor znów schodzi do h = 0, więc sam rachunek między początkiem i odległym końcem pozwalałby zapisać 12 J na końcu. Ale jeśli szczyt ma wysokość 1,5 m przy g = 10 m/s², wymagałby 15 J energii potencjalnej. Klocek tam nie dotrze.

Na wznoszeniu E_k(h)=12\ \mathrm J-(1\ \mathrm{kg})(10\ \mathrm{m/s^2})h. Pierwsze zero wypada przy h = 1,2 m. Klocek zawróci przed szczytem. Dodatni wynik dla hipotetycznego końca nie uprawnia do pominięcia bariery. Jeżeli w zadaniu podano, że ciało przebyło cały odcinek, korzystamy z tej informacji; jeżeli dopiero mamy sprawdzić możliwość dojazdu, kontrolujemy cały rozpatrywany etap.

Podobnie w zadaniu ze sprężyną i stałym tarciem na poziomym torze energia maleje monotonicznie. Tam sprawdzenie energii na końcu jest wystarczające, bo wcześniejsze wartości są większe. Wniosek działa dzięki temu szczegółowi modelu. Taki rachunek tłumaczy, dlaczego przy ujemnej energii nie poprawiamy znaku wyniku, lecz szukamy pierwszej fizycznej granicy ruchu.

Zadania do tego tematu

• Droga zatrzymania klocka na chropowatym stole
• Zjazd z wysokości dwóch metrów z podaną pracą tarcia
• Ujemna energia kinetyczna oznacza błędne założenie o zasięgu
• Sprężyna rozpędza klocek przed chropowatym odcinkiem

Dalsza lektura

Materiał referencyjny