Praca siły rosnącej liniowo z położeniem

Rozwiązanie

Rysujemy wykres Fₓ(x)

Siła ma wartość 4 N na początku i 12 N na końcu odcinka 5 m. Ponieważ rośnie liniowo, wykres jest prostym odcinkiem. Praca odpowiada polu pomiędzy tym odcinkiem a osią x. Nie jest to wykres względem czasu, więc pole ma jednostkę N·m, czyli J, a nie N·s.

Dwie równoważne metody pola

Pole trapezu wynosi średnia z dwóch wysokości razy szerokość: W = (4+12)·5/2. Możemy też wziąć prostokąt 4·5 = 20 J oraz trójkąt o wysokości 8 N i podstawie 5 m, który daje kolejne 20 J. Oba rozcięcia opisują ten sam dodatni obszar.

Wynik i jego znaczenie

Pole trapezu daje W=(4+12)5/2=40 J. Iloczyn końcowej siły i drogi dałby 60 J, czyli o 20 J za dużo. Jest niepoprawny, ponieważ siła 12 N nie działała na całej drodze. Jednostka pola N·m potwierdza, że obliczamy pracę, a nie impuls.

Kontrola i zakres użycia średniej

Praca 40 J mieści się między 4·5 = 20 J i 12·5 = 60 J, czyli wynikami dla najmniejszej i największej siły działającej na całej drodze. Średnia siła względem przemieszczenia wynosi 8 N. Wzór ze średnią arytmetyczną końców działa tu z powodu liniowości. Dla zakrzywionego wykresu o tych samych końcach pole mogłoby być inne. Iloczyn 12·5 zawyża wynik o 20 J, czyli o 50% prawidłowej pracy; nie o 20 N. Gdyby pojawił się fragment siły pod osią, należałoby jego pole odjąć. Cały obecny wykres leży nad osią, więc znak pracy jest dodatni.

Jak wyglądałoby pole dla stałych 8 N?

Stała siła 8 N na tej samej drodze 5 m wykonałaby również 40 J pracy. Nie oznacza to identycznego ruchu w każdym położeniu: przyspieszenie mogłoby być stałe zamiast rosnącego, jeśli mówimy o wypadkowej. Taki sam całkowity transfer energii nie wymaga tego samego przebiegu siły. W zadaniu znamy pracę wskazanej siły; do porównania pełnej kinematyki potrzebowalibyśmy masy, innych sił i warunków początkowych. Pole porównuje sumę wkładów, nie ich kolejność.

Powiązana teoria

Praca siły: kiedy iloczyn Fs trzeba uzupełnić o znak i kąt?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny