Moc mechaniczna i sprawność: ta sama praca, różny czas

Potrzebne wiadomości: Praca, energia, czas i procenty.

Energia odpowiada na inne pytanie niż moc

Wniesienie tej samej walizki na to samo piętro wymaga tego samego przyrostu energii potencjalnej niezależnie od tego, czy idziesz powoli, czy biegniesz. Przy szybszym wejściu przekazujesz tę energię w krótszym czasie, więc średnia użyteczna moc jest większa. Możesz zużyć dodatkową energię na ruch ciała i procesy fizjologiczne; gdy analizujemy tylko podniesienie walizki, nie nazywamy tego pełnym bilansem organizmu. Tak samo moc na wale silnika nie musi być równa mocy pobranej z gniazdka.

Definicja P_{\text{śr}}=W/\Delta t jest ilorazem całej pracy i całego czasu wskazanego etapu. Wat jest dżulem na sekundę. Silnik wykonujący pracę 600 J przez 6 s ma średnią moc 100 W. Jeśli tę samą pracę wykona przez 3 s, średnia moc wyniesie 200 W. Nie wykonuje wtedy dwukrotnie większej pracy. Kilowat jest tysiącem watów, a kilowatogodzina jednostką energii: 1 kWh = 1000 W·3600 s = 3,6 MJ.

Średnia i chwilowa moc

Średnia moc wynosi P_{sr}=W/\Delta t. Wat to dżul na sekundę. Dla siły działającej wzdłuż ruchu chwilowa moc mechaniczna ma postać P=Fv; ogólnie jest iloczynem skalarnym siły i prędkości punktu jej przyłożenia. Przy zmianie obciążenia średnia moc i moc w konkretnej chwili nie muszą być równe.

Podniesienie 20 kg o 3 m przy g = 10 m/s² wymaga zwiększenia energii potencjalnej o 600 J. W czasie 6 s odpowiada to średniej użytecznej mocy 100 W. Ten sam ruch w 3 s oznacza 200 W, ale nadal 600 J użytecznej energii.

Sprawność wymaga wskazania wejścia i wyjścia

Definiujemy \eta=E_{uzyt}/E_{wej}, a w odpowiednich warunkach ustalonej pracy także iloraz mocy. Jeżeli urządzenie otrzymało 800 J i użytecznie przekazało 600 J, sprawność wynosi 75%. Pozostałe 200 J nie zniknęło: zostało przekazane lub zmagazynowane w innych postaciach.

Nie mylimy mocy elektrycznej pobieranej przez silnik z mocą mechaniczną na jego wyjściu. Nie stosujemy też bez sprawdzenia jednej stałej sprawności przy każdym obciążeniu. W zadaniach idealizowanych podana sprawność jest przyjętym modelem. Iloczyn siły i szybkości ma sens jako moc tylko wtedy, gdy chodzi o właściwą składową siły.

Przy pracy ustalonej 500 W = 400 W+100 W. Sprawność wyjścia mechanicznego wynosi 80%. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Jak przejść od pracy do chwilowego Fv?

W bardzo krótkim czasie Δt punkt przyłożenia siły przesuwa się o Δs. Jeżeli siła i prędkość nie zmieniają się znacząco, ΔW≈FΔs cosα. Dzieląc przez Δt, otrzymujemy P≈F (Δs/Δt)cosα. W granicy krótkich przedziałów Δs/Δt staje się chwilową szybkością, a P = Fv cosα. Dla zgodnych zwrotów siły i ruchu zostaje P = Fv. Dlatego przy dużej szybkości nawet umiarkowana siła wymaga znacznej mocy.

Iloczyn Fv ma jednostkę N·m/s = J/s = W. Nie można jednak wyznaczać siły z P/v w chwili v = 0 przez dzielenie przez zero. Model stałej dodatniej mocy aż do samego startu dawałby nieograniczoną siłę. Rzeczywisty napęd ma ograniczenia momentu i siły; przy ruszaniu nie zachowuje się jak idealne źródło zadanej mocy mechanicznej bez względu na prędkość.

Przykład: wciągarka i dwie moce

Wciągarka podnosi 80 kg o 6 m przez 12 s przy g = 10 m/s². Jeśli na początku i końcu energia kinetyczna jest jednakowa, użyteczny przyrost energii wynosi 4800 J, a średnia użyteczna moc 400 W. Nie założyliśmy, że prędkość przez cały czas była stała; wystarcza bilans dwóch stanów. Gdy znamy sprawność 80% dla całego tego etapu, energia wejściowa wynosi 4800/0,80 = 6000 J, a średnia moc wejściowa 500 W.

Różnica 1200 J to energia nieprzekazana do wskazanego użytecznego efektu. Może ogrzać silnik i przekładnię albo zostać oddana otoczeniu. Słowo „strata” nie oznacza jej zniszczenia. Sprawność jest ilorazem użytecznego wyjścia i wejścia; przy opisanym urządzeniu bez pobierania energii z dodatkowego, pominiętego źródła nie przekroczy 100%. Gdy z rachunku wyjdzie 125%, najpierw sprawdź, czy nie odwróciłeś ułamka.

Przykład: stała prędkość nie oznacza braku pracy

Wózek jedzie z szybkością 3 m/s, pokonując opór 90 N. Przy ruchu jednostajnym napęd działa siłą 90 N. Jego moc wynosi 270 W. Opór ma moc −270 W, więc suma mocy sił działających na wózek jest zerowa i energia kinetyczna nie rośnie. Silnik mimo to stale przekazuje energię. Zerowa praca wypadkowej nie jest zerową pracą każdego składnika.

Jeśli w danej chwili moc napędu wzrośnie do 360 W przy tej samej chwilowej szybkości, siła będzie równa 120 N. Z oporem 90 N pozostaje wypadkowa 30 N. Wózek zacznie przyspieszać, więc szybkość nie może nadal pozostawać stała bez zmiany pozostałych warunków. Użycie słowa „chwilowa” ma tu znaczenie: opisujemy stan w momencie zmiany, nie obiecujemy niezmiennego stanu przez następne minuty.

Gdzie trafia moc podczas rozpędzania ładunku?

Dla podnoszonej masy m z przyspieszeniem a w górę napięcie wynosi T = m (g+a). Moc linki to Tv = mgv+mav. Pierwszy składnik zwiększa energię potencjalną, drugi kinetyczną. Dla 10 kg, v = 0,50 m/s, a = 2 m/s² i g = 10 m/s² otrzymujemy 60 W: 50 W na podnoszenie i 10 W na rozpędzanie. Przy sprawności 80% napęd potrzebuje 75 W wejścia. Pominięcie członu mav błędnie utożsamiłoby przyspieszanie z ruchem jednostajnym.

Sprawdź się: urządzenie pobiera 500 W, a oddaje 400 W użytecznej mocy. Ile energii trafi poza użyteczne wyjście przez minutę ustalonej pracy? Odpowiedź: różnica wynosi 100 W, więc przez 60 s daje 6000 J. Nie 100 J, ponieważ wat nie jest dżulem. Sprawność wynosi 80%. Ten sam wynik sprawności uzyskamy z porównania energii 24000 J i 30000 J w tym samym przedziale czasu.

Dlaczego iloczyn średniej siły i średniej szybkości może zawieść?

Średnia moc jest średnią iloczynu siły i prędkości, a nie w ogólności iloczynem dwóch niezależnie uśrednionych liczb. Rozważ dwa kolejne odcinki pracy po 1 s; pomijamy krótki czas przejścia między nimi. Na pierwszym badana siła ciągnąca ma 10 N, a jej punkt przyłożenia przesuwa się z 4 m/s zgodnie z siłą. Na drugim siła ma 30 N, a szybkość 2 m/s. Mówimy o tej jednej sile, nie o wypadkowej; inne oddziaływania mogą utrzymywać zadane ruchy.

Prace wynoszą 10·4·1 = 40 J i 30·2·1 = 60 J. Razem 100 J przez 2 s, czyli średnio 50 W. Tymczasem średnie arytmetyczne siły i szybkości to 20 N oraz 3 m/s, a ich iloczyn dałby błędne 60 W. Wysoka siła nie występowała tu przy wysokiej szybkości. Trzeba zachować informację, które wartości występowały razem.

W symbolach dla zgodnych kierunków P_{\mathrm{sr}}=\frac{1}{\Delta t}\int F(t)v(t)\,dt. Jeżeli siła jest stała, można wyłączyć ją przed całkę i pomnożyć przez średnią składową prędkości. To właśnie uzasadnia kontrolę średniej mocy grawitacyjnej przez mg·Δh/Δt w zadaniu z wciągarką. Nie uzasadnia dowolnego mnożenia średnich danych napędu.

Zadania do tego tematu

• Wciągarka podnosząca ładunek przez dwanaście sekund
• Sprawność silnika z porównania mocy wejściowej i wyjściowej
• Moc potrzebna do utrzymywania prędkości wózka
• Chwilowa moc podnoszenia przy niezerowym przyspieszeniu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny