Praca odczytana z pola wykresu: siła i moc ze znakiem

Potrzebne wiadomości: Praca, energia kinetyczna, moc i pola prostych figur.

Najpierw ustal, jaka wielkość jest na każdej osi

Dla ruchu wzdłuż osi x pole pod F_x(x) daje pracę tej siły. W naszym przykładzie x rośnie przez cały badany odcinek; nie utożsamiamy go dowolnie z drogą po zawróceniu. Jednostka pola to N·m=J. Dla P(t) jednostka W·s także daje J. Natomiast pole pod F(t) ma jednostkę N·s i jest impulsem, nie pracą.

Moc przekazywaną do wybranego układu liczymy dodatnio, oddawaną na zewnątrz ujemnie. Dodatnie pole minus pole bezwzględne części ujemnej daje przekaz netto. Suma modułów odpowiadałaby innej wielkości: łącznej energii wymienionej w obu kierunkach.

Policz figury i sprawdź bilans

Na rysunku moc rośnie od zera do 30 W przez 2 s, pozostaje taka do 5 s i spada do zera po 7 s. Pola dwóch trójkątów i prostokąta wynoszą 30, 90 i 30 J. Razem dostarczono 150 J. Średnia moc to 150/7 W, a nie arytmetyczna średnia najwyższej i najniższej wartości.

Zmianę energii kinetycznej wyznacza praca siły wypadkowej. Gdy wykres dotyczy tylko siły silnika, trzeba uwzględnić także pracę pozostałych sił. Nie dopisujemy strat drugi raz, jeśli wykres już przedstawia moc netto układu.

Praca netto 20 J. Ujemny fragment odbiera energię, ale w tym przykładzie nie zatrzymuje wózka. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Oś pozioma decyduje o znaczeniu pola

Praca siły jest związana z przemieszczeniem, nie bezpośrednio z czasem jej działania. Dlatego na wykresie F_x(x) mnożymy niutony przez metry. Na wykresie F(t) otrzymujemy niutonosekundy, czyli impuls. Wykres mocy P(t) znów daje energię, bo wat jest dżulem na sekundę. Dwa wykresy mogą mieć identyczny kształt i liczby na osiach, a odpowiadać innym wielkościom.

Znak również ma definicję. Dla ruchu w rosnącym x ujemna składowa siły wykonuje pracę ujemną. Dla mocy przekazywanej do urządzenia znak dodatni oznacza dopływ, ujemny odpływ. Nie można po drodze zamienić perspektywy z urządzenia na otoczenie bez zmiany znaków. Zapis bilansu przed podstawieniem pozwala uniknąć takiej niejawnej zamiany.

Przykład: wózek i trzy obszary wykresu

Siła rośnie od 0 do 6 N na pierwszych 2 m, więc praca jest polem trójkąta 6 J. Następnie 6 N przez 3 m daje 18 J. Ostatnie −2 N przez 2 m daje −4 J. Wypadkowa praca 20 J zwiększa energię kinetyczną. Dla masy 2 kg i początkowej szybkości 2 m/s energia początkowa 4 J rośnie do 24 J, stąd v=√24≈4,90 m/s.

Trzeba jeszcze sprawdzić, czy założenie przejścia całego ostatniego odcinka jest spójne. Przed hamowaniem energia wynosi 4+6+18=28 J, a do końca siła odbiera tylko 4 J. Wózek nie zatrzyma się wcześniej. Gdyby praca oporu przekroczyła dostępną energię, nie wolno byłoby bezmyślnie podstawiać całego przedziału i przyjmować ujemnej energii kinetycznej.

Przykład: energia wpływająca i wypływająca

Urządzenie pobiera 20 W przez 6 s, czyli 120 J, następnie oddaje 10 W przez 2 s, czyli 20 J. Bilans wynosi 100 J do urządzenia, a suma modułów wymiany 140 J. Obie liczby mogą być użyteczne, lecz nie są zamienne. Jeśli pytanie dotyczy zmiany energii układu od tej wymiany, potrzebujemy bilansu ze znakiem.

Nie nazywamy automatycznie 100 J ciepłem ani stratą. Mogła wzrosnąć energia akumulatora, energia kinetyczna albo kilka składników naraz. Do takiego podziału potrzebne są informacje o procesie. Wykres dopływu mocy określa transfer przez wskazaną granicę układu, a nie sam z siebie przeznaczenie każdej porcji energii.

Kontrprzykład: ten sam impuls, różna praca

Niech wypadkowy impuls wynosi 10 N·s dla ciała 2 kg. Wtedy Δv=5 m/s. Jeśli ciało zaczyna od spoczynku, przyrost energii wynosi 25 J. Jeśli początkowo ma 3 m/s w tym samym zwrocie, końcowo ma 8 m/s i energia rośnie o 55 J. Ten sam impuls odpowiada różnej pracy, ponieważ praca zależy również od początkowego ruchu.

Można to zapisać przez pęd: ΔE=((p+J)²−p²)/(2m)=pJ/m+J²/(2m). Wyraz zawierający początkowy p nie znika, chyba że ciało początkowo spoczywa. Sprawdź się: jeśli impuls 10 N·s działa przeciwnie do początkowego pędu 10 kg·m/s ciała 2 kg, zatrzyma je i wykona −25 J pracy. Dodatnia wartość modułu impulsu nie oznacza zawsze dodatniej pracy.

Zadania do tego tematu

• Wykres siły obejmuje rozpędzanie i hamowanie
• Moc odzysku nie jest kolejnym poborem
• Ten sam impuls siły nie gwarantuje tej samej pracy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny