Ciężki bloczek wymaga dwóch różnych napięć linki

Rozwiązanie

Nierówne napięcia nie łamią trzeciej zasady: działają na różne końce układu linka–bloczek i dostarczają moment obrotowy. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Bezwładność obrotowa wymaga różnicy napięć

Wybieramy dodatnie przyspieszenie a lżejszej masy w górę i cięższej w dół. Brak poślizgu linki na bloczku oznacza przyspieszenie kątowe ε = a/r. Dwa napięcia mogą być różne, ponieważ ich różnica wytwarza moment rozpędzający bloczek. Brak tarcia osi nie oznacza braku bezwładności.

Trzy równania

T_1-10=a,\qquad30-T_2=3a,\qquad(T_2-T_1)r=I\frac ar.

Ostatnie równanie dzielimy przez r: T₂−T₁ = (I/r²)a = 2a. Po dodaniu wszystkich bilansów otrzymujemy 20 = (1+3+2)a. Wielkość I/r² ma jednostkę kg, więc może wystąpić obok mas, lecz nie jest dodatkowym ciężarem po którejkolwiek stronie linki.

Wynik i jego znaczenie

Po połączeniu równań a=(3-1)10/(1+3+2)=10/3 m/s². Po lżejszej stronie T_1=1(10+a)=40/3\approx13{,}33 N, po cięższej T_2=3(10-a)=20 N. Różnica 20/3 N daje potrzebny moment rozpędzający bloczek. W granicy I = 0 wrócilibyśmy do jednakowych napięć, lecz tutaj pominięcie jego bezwładności byłoby błędem.

Sprawdzenie obu translacji i obrotu

Dla a = 10/3 m/s² pierwszy bilans daje T₁ = 40/3 N, drugi T₂ = 20 N. Różnica wynosi 20/3 N, dokładnie 2 kg·10/3 m/s². Oba napięcia są dodatnie, więc linka może pozostawać napięta. Po stronie 1 kg napięcie przewyższa ciężar 10 N; po stronie 3 kg jest mniejsze od 30 N. Bez bezwładności bloczka przyspieszenie wynosiłoby 20/4 = 5 m/s², większe od obecnego 3,33 m/s². Część dostarczanej energii trafia teraz także do ruchu obrotowego, co jest zgodne z tym porównaniem.

Dlaczego można nie znać osobno r oraz I?

Równania zawierają te wielkości tylko w połączeniu I/r², które podano jako 2 kg. Dlatego wystarcza ono do wyznaczenia przyspieszenia i napięć. Do liczbowej prędkości kątowej przy zadanej prędkości linki potrzebowalibyśmy już osobnego r, ponieważ ω = v/r. Brak takich danych nie przeszkadza w obecnym pytaniu. W granicy bardzo dużego I/r² przyspieszenie maleje do zera, a napięcia zbliżają się do odpowiednich ciężarów; bloczek coraz trudniej rozpędzić obrotowo.

Powiązana teoria

Linki i bloczki: skąd bierze się wspólne przyspieszenie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny