Wózek na stole ciągnięty wiszącym obciążnikiem

Rozwiązanie

Nie sumujemy mas i sił bez ustalenia więzu. Wózek i obciążnik mają różne kierunki, ale równą wartość przyspieszenia. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Dwa kierunki ruchu, jedna wartość przyspieszenia

Dla wózka wybieramy dodatnią oś poziomo ku bloczkowi, dla obciążnika pionowo w dół. Nie trzeba zakładać takich zwrotów początkowych prędkości: ustalamy znaki w równaniach przyspieszenia. Stała długość napiętej linki wiąże wartości ich przemieszczeń i przyspieszeń. Dla wózka jedyną poziomą siłą jest napięcie T. Dla obciążnika ciężar 10 N i napięcie mają przeciwne zwroty. Ciężar wózka nie ciągnie linki poziomo, bo równoważy go podparcie stołu.

Łączymy bilanse

T=2a,\qquad10-T=1a,\qquad10=3a.

Ciężar obciążnika rozpędza obie masy, dlatego w mianowniku przyspieszenia występuje 3 kg, a nie tylko masa wisząca. Po wyznaczeniu a napięcie otrzymujemy przez pomnożenie przez masę wózka. Wszystkie siły pozostają w niutonach; współczynniki 2 i 1 w równaniach reprezentują kilogramy.

Wynik i jego znaczenie

Przyspieszenie wynosi a=10/3\approx3{,}33 m/s². Napięcie z równania wózka to T=2a=20/3\approx6{,}67 N. Równanie obciążnika daje 10−T = a, co potwierdza wynik. Podstawienie napięcia równego 10 N byłoby sprzeczne z niezerowym przyspieszeniem obciążnika.

Dlaczego napięcie jest mniejsze od ciężaru?

Obciążnik przyspiesza w dół, więc ciężar musi przewyższać działające w górę napięcie. Wynik 6,67 N jest mniejszy od 10 N, a różnica około 3,33 N rozpędza 1 kg z przyspieszeniem 3,33 m/s². Dla wózka 6,67 N/2 kg daje tę samą wartość. Gdyby błędnie przyjąć T = 10 N, wiszące ciało miałoby zerową wypadkową, a wózek niezerową — sprzecznie z więzem linki. Przy coraz większej masie wózka przyspieszenie powinno maleć, a napięcie zbliżać się do 10 N; wyprowadzone równania mają właśnie tę właściwość.

Jaki jest bilans energii po przesunięciu o 30 cm?

Obciążnik opada o 0,30 m, a wózek przesuwa się o tyle samo poziomo. Grawitacja oddaje 1·10·0,30 = 3 J. Jeśli oba ciała startują ze spoczynku, ich łączna energia kinetyczna to (2+1)v²/2, stąd v² = 2 m²/s². Z kinematyki v² = 2as = 2·(10/3)·0,30 daje tę samą wartość. Napięcie przenosi energię między ciałami; nie jest dodatkowym zewnętrznym źródłem energii całego idealnego układu.

Powiązana teoria

Linki i bloczki: skąd bierze się wspólne przyspieszenie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny