Ciężarki 2 kg i 3 kg po obu stronach idealnego bloczka

Rozwiązanie

Strzałki po bokach dotyczą ciężarków. Linka na oba działa w górę; przeciwne znaki napięcia w równaniach wynikają z wyboru dwóch osi. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Przekładamy długość linki na wspólne a

Nieruchomy bloczek i napięta nierozciągliwa linka oznaczają, że przemieszczeniu jednego ciężarka w górę odpowiada takie samo co do wartości przemieszczenie drugiego w dół. Bez danych początkowych nie przesądzamy jeszcze zwrotów ich prędkości; wyznaczamy zwroty przyspieszeń. Wartości ich przyspieszeń są równe. Wybieramy osobno dodatni zwrot w górę po lżejszej stronie i w dół po cięższej. Idealny bloczek oraz lekka linka pozwalają użyć jednego napięcia T.

Dwa równania, dwie niewiadome

T-20=2a,\qquad30-T=3a.

Dodajemy je stronami. Napięcie skraca się, a masy po prawej dodają: 10 = 5a. Po wyznaczeniu a wracamy do jednego z równań, zamiast utożsamiać napięcie z którymś ciężarem. Jednostka różnicy ciężarów to N, a podzielenie przez łączną masę daje m/s².

Wynik i jego znaczenie

Dodanie równań daje a=(3-2)10/(3+2)=2 m/s². Cięższy ciężarek przyspiesza w dół. Dla lżejszego T=2(10+2)=24 N. Kontrola z drugiego równania daje T=3(10-2)=24 N. Napięcie leży między ciężarami 20 i 30 N, zgodnie z kierunkami przyspieszeń.

Trzy kontrole wyniku

Po pierwsze, cięższy ciężarek ma większy ciężar niż napięcie: 30−24 = 6 N, co dla 3 kg daje 2 m/s² w dół. Po drugie, po lżejszej stronie 24−20 = 4 N i 4/2 = 2 m/s² w górę. Po trzecie, przyspieszenie 2 m/s² jest mniejsze od g: linka ogranicza przyspieszenie cięższego w dół względem swobodnego spadku. Gdyby masy były jednakowe, różnica ciężarów zniknęłaby i a = 0. Błędne użycie różnicy mas w mianowniku dałoby tutaj g, sprzecznie z niezerowym napięciem podtrzymującym cięższe ciało.

Dlaczego nie sumujemy ciężarów w liczniku?

Ciężary 20 N i 30 N działają w dół w przestrzeni, ale przesuwają końce tej samej linki w konkurencyjne strony. W wybranych osiach ruchu cięższy napędza układ, a lżejszy mu przeciwdziała, dlatego napęd wynosi różnicę 10 N. Bezwładność dotyczy natomiast obu poruszających się mas, więc w mianowniku występuje suma 5 kg. Zamiana tych dwóch ról prowadziłaby do przyspieszenia większego od g i napięć niezgodnych z poszczególnymi bilansami.

Powiązana teoria

Linki i bloczki: skąd bierze się wspólne przyspieszenie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny