Przyspieszenie od dwóch prostopadłych składowych siły

Rozwiązanie

Składowe są dwoma zapisami tej samej wypadkowej. Fioletowy wektor nie jest trzecią siłą, którą należy dodać. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Traktujemy równanie jako wektorowe

Podane 6 N i 8 N są prostopadłymi składowymi jednej wypadkowej. Dla osi x i y zapisujemy oddzielnie Fₓ = maₓ oraz Fᵧ = maᵧ. Masa 2 kg jest tą samą wielkością w obu równaniach; nie dzielimy jej pomiędzy osie. Otrzymujemy aₓ = 6/2 = 3 m/s² i aᵧ = 8/2 = 4 m/s².

Długość i kierunek

Składowe tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego, więc długość przyspieszenia obliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Kąt względem osi x wynika z ilorazu składowej y i x:

a=\sqrt{a_x^2+a_y^2},\qquad \tan\alpha=\frac{a_y}{a_x}=\frac43.

Obie składowe są dodatnie, zatem wektor leży w pierwszej ćwiartce. Sama funkcja arctan bez sprawdzenia znaków mogłaby dać niewłaściwą ćwiartkę w innym zadaniu. Tutaj nie ma takiej niejednoznaczności.

Wynik i jego znaczenie

Otrzymujemy aₓ = 3 m/s² i aᵧ = 4 m/s². Wartość wynosi a=\sqrt{3^2+4^2}=5 m/s². Kąt spełnia \tan\alpha=4/3, więc α≈53,1°. Suma 3+4 = 7 nie jest długością wektora. Zwrot przyspieszenia jest zgodny z wypadkową, niekoniecznie z chwilową prędkością.

Dwie niezależne kontrole

Wartość siły to √(6²+8²) = 10 N; podzielenie przez 2 kg daje 5 m/s², zgodnie z obliczeniem ze składowych. Następnie 5 cos 53,1°≈3 i 5 sin 53,1°≈4, więc odtwarzamy obie składowe przyspieszenia. Kąt jest większy od 45°, co odpowiada większej składowej pionowej. Nie dodajemy 3+4, bo byłaby to suma długości dwóch odcinków zamiast długości przekątnej. Podobnie jak w ruchu jednowymiarowym, kierunek przyspieszenia nie wyznacza bez danych początkowych kierunku prędkości.

Jak rozpoznać wynik po obrocie osi?

Możemy wybrać nową oś wzdłuż wypadkowej. Wtedy jedna składowa siły ma 10 N, druga zero, a składowe przyspieszenia 5 m/s² i 0. Nie zmieniło się rzeczywiste przyspieszenie ani jego wartość, tylko sposób opisu. Poprzednie 3 i 4 m/s² nie są dodatkowymi przyspieszeniami, które trzeba do niego dodać. Ten sam wektor zapisany w dwóch układach współrzędnych musi mieć jednakową długość; właśnie to sprawdza uzyskana para wyników.

Powiązana teoria

Druga zasada dynamiki: najpierw wybierz ciało, potem sumuj siły

Dalsza lektura

Materiał referencyjny