Droga zatrzymania klocka na chropowatym stole

Rozwiązanie

Bilans między początkiem a pierwszym zatrzymaniem

Podłoże jest poziome, więc wysokość i energia potencjalna się nie zmieniają. Ciężar i podparcie są prostopadłe do przemieszczenia. Jedyną siłą wykonującą pracę jest podane tarcie. Początkowo energia kinetyczna wynosi mv₀²/2, na końcu jest zerowa. Szukamy drogi s, na której ujemna praca tarcia dokładnie zrównoważy ten spadek.

Wyprowadzenie zamiast zgadywania wzoru

0-\frac{mv_0^2}{2}=-\mu_kmgs,\qquad s=\frac{v_0^2}{2\mu_kg}.

Masa skraca się, dlatego jej brak w treści nie przeszkadza. Po podstawieniu mianownik to 6 m/s², a licznik 36 m²/s²; iloraz ma jednostkę metra. Wszystkie użyte warunki dotyczą ślizgania po nieruchomym poziomym podłożu przy stałym współczynniku.

Wynik i jego znaczenie

Z równania mv_0^2/2=\mu_k mgs otrzymujemy s=36/(2\cdot0{,}30\cdot10)=6 m. Masa nie wpływa na ten wynik w przyjętym modelu. Kontrola przez kinematykę daje opóźnienie 3 m/s² i tę samą drogę 6 m.

Sprawdzenie inną metodą

Z dynamiki opóźnienie ma wartość μkg = 3 m/s². Czas hamowania z 6 m/s wynosi 2 s. Przy jednostajnym hamowaniu średnia szybkość to 3 m/s, więc droga 3·2 = 6 m, zgodnie z bilansem energii. Po zatrzymaniu nie przedłużamy pracy tarcia za nieprzebytą drogę. Gdyby początkowa szybkość była dwukrotnie większa, droga wzrosłaby czterokrotnie do 24 m. Podwojenie masy przy pozostałych niezmienionych warunkach nie zmieniłoby drogi, bo podwoiłoby zarówno energię początkową, jak i siłę tarcia. To własność przyjętego modelu, nie każdej możliwej siły oporu.

Jakiej energii brakuje po połowie drogi?

Po 3 m praca tarcia wynosi W_k=-\mu_kmg(3\ \mathrm m)=-(9\ \mathrm{J/kg})m. Początkowo E_{k,0}=(18\ \mathrm{J/kg})m, więc zostanie połowa energii. W obu wyrażeniach m oznacza masę z jednostką; nie traktujemy jej równocześnie jako samej liczby i jako kilogramów. Szybkość wyniesie 6/√2≈4,24 m/s, a nie 3 m/s. To dodatkowy sprawdzian zależności kwadratowej między energią i szybkością. Połowa drogi hamowania nie oznacza połowy czasu: przy stałym opóźnieniu ciało na początku pokonuje kolejne metry szybciej niż tuż przed zatrzymaniem.

Powiązana teoria

Energia mechaniczna z tarciem: energia nie znika, tylko zmienia postać

Dalsza lektura

Materiał referencyjny