Sprężyna rozpędza klocek przed chropowatym odcinkiem

Rozwiązanie

Rozdzielamy dwa odcinki toru

Na gładkim odcinku idealna sprężyna oddaje energię kx²/2 klockowi. Potem klocek traci kontakt ze sprężyną; na szorstkim odcinku nie ma już jej siły ani pozostałej energii sprężystej do dalszego doliczania. Wysokość się nie zmienia. Najpierw liczymy zasób energii, następnie koszt przejechania chropowatego odcinka.

Energia i praca tarcia

E_s=\frac{100\cdot0{,}10^2}{2}=0{,}50\ \mathrm J,\quad F_k=0{,}20\cdot0{,}20\cdot10=0{,}40\ \mathrm N.

Praca tarcia na 0,50 m to −0,20 J. W bilansie pozostaje Eₖ = 0,50−0,20 = 0,30 J. Dopiero tę energię podstawiamy do mv²/2, używając masy 0,20 kg, a nie wartości współczynnika tarcia, która przypadkiem ma ten sam zapis liczbowy.

Wynik i jego znaczenie

Sprężyna przekazuje E=100\cdot0{,}10^2/2=0{,}50 J. Tarcie na dalszym odcinku ma 0,40 N i wykonuje pracę −0,20 J. Pozostaje 0,30 J, więc v=\sqrt{2\cdot0{,}30/0{,}20}=\sqrt3\approx1{,}73 m/s. Dodatnia energia potwierdza, że klocek pokona cały chropowaty odcinek.

Sprawdzamy możliwość dojazdu

Zapas 0,50 J przy tarciu 0,40 N wystarczyłby na 1,25 m chropowatej drogi. Podane 0,50 m jest krótsze, więc klocek nie zatrzyma się przed końcem. Początkowa szybkość po sprężynie wynosi √5≈2,24 m/s, większa od końcowych √3≈1,73 m/s. Odtworzenie energii końcowej daje 0,20·3/2 = 0,30 J. Gdyby szorstki odcinek był dłuższy niż 1,25 m, należałoby podać zatrzymanie wcześniej, zamiast brać pierwiastek z ujemnej energii. Przyjęte x oznacza odkształcenie od długości naturalnej sprężyny, nie długość całej sprężyny.

Co dałoby dwukrotnie większe ściśnięcie sprężyny?

Przy x = 0,20 m energia sprężysta wzrosłaby czterokrotnie do 2 J, bo zależy od x². Praca tarcia na tym samym odcinku nadal wynosiłaby −0,20 J, jeśli pozostałe warunki się nie zmienią. Końcowe 1,80 J dawałoby v = √18≈4,24 m/s. Nie jest to dokładnie dwukrotność poprzedniej szybkości, ponieważ odjęliśmy tę samą, a nie czterokrotnie większą energię tarcia. Ten wariant oddziela wpływ nieliniowej energii sprężyny od stałego kosztu przejazdu odcinka.

Powiązana teoria

Energia mechaniczna z tarciem: energia nie znika, tylko zmienia postać

Dalsza lektura

Materiał referencyjny