Zjazd z wysokości dwóch metrów z podaną pracą tarcia

Rozwiązanie

Ustalamy poziom zerowy na dole

Początkowo klocek spoczywa, więc Eₖ₁ = 0. Jego energia potencjalna względem dołu wynosi mgh = 2·10·2 = 40 J. Na końcu Eₚ₂ = 0. Praca tarcia jest już podana w dżulach; nie musimy znać kształtu toru, jego długości ani współczynnika tarcia. W bilansie pojawia się dokładnie raz.

Ile energii zostaje na ruch?

E_{k2}-40\ \mathrm J=-20\ \mathrm J,\qquad E_{k2}=20\ \mathrm J.

Następnie z mv²/2 = Eₖ₂ rozwiązujemy względem dodatniej szybkości: v = √(2Eₖ₂/m). Jednostka J/kg jest m²/s², a po pierwiastkowaniu dostajemy m/s. Dodatnia energia oznacza, że podany końcowy stan nie jest wykluczony przez bilans.

Wynik i jego znaczenie

Początkowa energia mechaniczna to 40 J. Na dole pozostaje 20 J energii kinetycznej, więc v=\sqrt{2\cdot20/2}=\sqrt{20}\approx4{,}47 m/s. Energia kinetyczna jest dwa razy mniejsza niż bez tarcia, lecz szybkość nie jest dwa razy mniejsza: zależy od pierwiastka z energii.

Porównujemy energię i szybkość osobno

Bez tarcia końcowa energia wyniosłaby 40 J, a szybkość √40≈6,32 m/s. Z tarciem otrzymujemy √20≈4,47 m/s. Stosunek energii to 1/2, ale stosunek szybkości 1/√2≈0,707. Błąd „połowa energii, więc połowa szybkości” nie uwzględnia kwadratu v. Kontrola powrotna: 2 kg·(4,47 m/s)²/2≈20 J. Pozostałe 20 J nie zniknęło; zostało przekazane do postaci energii nieujętych w mechanicznym bilansie klocka. Nie dodajemy go ponownie do energii kinetycznej na dole.

Jaka praca tarcia zatrzymałaby klocek dokładnie na dole?

Gdyby całkowita praca tarcia wyniosła −40 J, bilans końcowy dałby Eₖ = 0. Bardziej ujemna założona praca na całej trasie oznaczałaby, że opis zjazdu do końca wymaga ponownego sprawdzenia — ciało mogłoby zatrzymać się wcześniej. W naszym zadaniu −20 J jest mniejsze co do wartości od początkowych 40 J, więc bilans dopuszcza dodatnią szybkość na dole. Nie znamy szczegółowego rozkładu tarcia, dlatego sam rachunek energii nie rekonstruuje przyspieszenia w każdym punkcie toru.

Powiązana teoria

Energia mechaniczna z tarciem: energia nie znika, tylko zmienia postać

Dalsza lektura

Materiał referencyjny