Wahadło matematyczne: kiedy okres nie zależy od amplitudy?

Potrzebne wiadomości: Siła ciężkości, ruch okresowy i pierwiastek kwadratowy.

Co naprawdę mierzymy stoperem?

Ciężarek wraca do położenia równowagi dwa razy w każdym pełnym drganiu. Raz biegnie w prawo, raz w lewo. Jeśli liczymy każde takie przejście jako osobne drganie, otrzymamy okres dwa razy za krótki. Najprościej wybrać znak rozpoznawczy: na przykład przejście przez środek zawsze w prawo. Od jednego takiego zdarzenia do następnego mija pełny okres.

Wahadło jest dobrym przykładem różnicy między obiektem a modelem. Prawdziwy ciężarek ma rozmiar, nić masę i opór, a otoczenie tłumi ruch. Model matematyczny pomija te cechy, aby wyodrębnić zależność od długości i grawitacji. Najpierw sprawdzamy, kiedy uproszczenie jest rozsądne, a potem używamy wzoru.

Od siły do okresu

Wahadło matematyczne zastępuje ciężarek punktem o masie m, zawieszonym na lekkiej, nierozciągliwej nici długości l. Składowa ciężkości przywracająca równowagę ma wartość mg\sin\theta. Dla małego kąta w radianach \sin\theta\approx\theta. Wtedy ruch jest w przybliżeniu harmoniczny, a T=2\pi\sqrt{l/g}. Masa skraca się w równaniu.

Długość liczymy od punktu zawieszenia do środka masy ciężarka, nie tylko do końca nici. Okres to czas pełnego powrotu do tego samego położenia z takim samym zwrotem ruchu. Przejście między skrajnymi wychyleniami trwa połowę okresu. Częstotliwość f=1/T ma jednostkę Hz.

Dlaczego masa znika, ale długość zostaje?

Przy dodatnim wychyleniu θ siła styczna do łuku działa w kierunku zmniejszania θ. Równanie wzdłuż łuku brzmi m l θ″ = −m g sin θ. Po podzieleniu przez m l i przy małym θ dostajemy \theta''+(g/l)\theta=0. To ta sama postać co równanie ruchu harmonicznego: współczynnik przy wychyleniu jest kwadratem częstości kołowej, zatem ω² = g/l i T = 2π/ω.

Cięższy ciężarek podlega większej sile ciężkości, ale ma proporcjonalnie większą bezwładność. Te dwa skutki znoszą się w modelu. Dłuższe wahadło przy tym samym kącie musi natomiast pokonać większy łuk; równanie pozostawia zależność od l. Kontrola jednostek daje √(m/(m/s²)) = s, jak powinna.

Co zmieni okres?

Czterokrotnie większa długość daje okres dwa razy dłuższy. Zmiana masy przy tych samych warunkach nie zmienia okresu modelowego. Dla l=1 m oraz g≈9,87 m/s² otrzymujemy T≈2 s. Użycie cięższego ciężarka nie powinno zmienić tego wniosku, o ile nić się nie wydłuża i opory są pomijalne.

Niezależność od amplitudy jest przybliżeniem małych drgań. Przy dużych wychyleniach okres wzrasta i prosty wzór nie wystarcza. Tarcie w zawieszeniu, opór powietrza i ruch podpory także mogą zmieniać obserwację. Do pomiaru lepiej mierzyć czas wielu pełnych okresów niż jeden krótki przedział.

Przykład pomiarowy z kontrolą błędu

Dla l = 0,64 m i g = 9,87 m/s², przy π² ≈ 9,87, okres wynosi około 1,60 s. Dwadzieścia drgań powinno zająć około 32,0 s. Jeśli łączna niepewność uruchomienia i zatrzymania stopera wynosi 0,2 s, to po podzieleniu przez 20 odpowiada niepewności średniego okresu około 0,01 s. Pomiar jednego okresu z taką samą niepewnością czasu byłby znacznie mniej dokładny.

Wydłużmy teraz wahadło do 1,00 m. Okres wzrośnie w stosunku √(1/0,64) = 1,25, czyli do 2,00 s. Nie wzrośnie w stosunku samych długości 1,5625. To porównanie możemy wykonać bez ponownego podstawiania g i π.

Duże wychylenia wymagają ostrożności: sin θ przestaje być dobrze przybliżany przez θ. Dla 10° różnica względna tych liczb jest około 0,5%, dla 60° ponad 17%. Błąd okresu nie jest równy temu błędowi punktowemu siły, ale sam test pokazuje, dlaczego nie wolno używać przybliżenia bez kontroli zakresu. Porównaj długości w modelu małych drgań.

Zadania do tego tematu

• Dwadzieścia pełnych wahnięć
• Dziewięciokrotna długość nici
• Przyspieszenie g z wahadła o znanej długości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny