Drgania tłumione i rezonans: skąd bierze się duża amplituda?

Potrzebne wiadomości: Okres, częstotliwość i bilans energii oscylatora.

Popychaj w rytmie, a nie po prostu mocniej

Huśtawkę można rozpędzać niewielkimi pchnięciami, jeśli wykonujemy je w odpowiednich chwilach. Pchnięcie przeciwne do ruchu może ją hamować. O amplitudzie decyduje więc nie tylko wartość siły, lecz także rytm i faza jej działania względem ruchu. W oscylatorze energia dopływa przez wymuszenie, a odpływa przez opory.

Rozróżnijmy trzy doświadczenia. Najpierw wychylamy ciężarek i puszczamy: obserwujemy drgania swobodne. Potem dodajemy tłumienie: ruch zanika. Na końcu stale przykładamy siłę okresową: po pewnym czasie może utrwalić się odpowiedź wymuszona, choć wcześniej widoczny był również ruch zależny od warunków początkowych.

Swobodne drgania z oporem

W modelu liniowym m\ddot x+b\dot x+kx=0. Składnik b opisuje siłę oporu przeciwną do prędkości. Dla słabego tłumienia obwiednia amplitudy maleje jak A(t)=A_0e^{-bt/(2m)}. Energia związana z obwiednią maleje szybciej, bo jest proporcjonalna do A². Silne tłumienie może usunąć oscylacje i dać sam powrót do równowagi.

Jak rozpoznać zanik wykładniczy?

Zmierz kolejne maksima po tej samej stronie równowagi. Jeżeli ich stosunek jest w przybliżeniu stały, na przykład 0,8, tracimy za każdym okresem ten sam procent pozostałej amplitudy. Nie tracimy stałej liczby centymetrów. Z 5 cm otrzymamy kolejno 4 cm, 3,2 cm i 2,56 cm.

To model słabego liniowego tłumienia. Tarcie suche może dawać inny przebieg zaniku, a bardzo silne tłumienie może usunąć oscylacje. Nie każdą krzywą powrotu do równowagi należy więc dopasowywać do malejącej sinusoidy. Sam współczynnik b ma jednostkę kg/s, bo b razy prędkość musi być siłą.

Wymuszenie okresowe

Jeżeli dochodzi siła F_0\cos(\Omega t), w stanie ustalonym układ drga z częstością wymuszającą Ω. Amplituda zależy od różnicy względem częstości własnej oraz od tłumienia. W pobliżu rezonansu dopływ energii jest szczególnie skuteczny. Dla małego tłumienia maksimum leży blisko \omega_0=\sqrt{k/m}; nie należy twierdzić, że przy dowolnym tłumieniu zawsze dokładnie w tym samym punkcie.

W stanie ustalonym średnia dostarczana moc równoważy straty. Duża amplituda nie oznacza tworzenia energii z niczego. Gdy źródło przestaje wymuszać ruch, amplituda maleje. Tłumienie spłaszcza i poszerza maksimum rezonansowe.

Jeżeli po każdym okresie amplituda pozostaje równa 0,8 poprzedniej, energia pozostaje równa 0,64 poprzedniej. To utrata 36%, nie 20%. Modele liniowe przestają wystarczać przy dużych odkształceniach; rzeczywiste konstrukcje nie są idealnymi oscylatorami o nieograniczonej amplitudzie.

Co właściwie pokazuje maksimum rezonansowe?

Dla małego tłumienia siła bliska rytmowi własnemu może przekazywać energię szczególnie skutecznie. Amplituda rośnie, aż średnie straty zrównają się z dostarczaną mocą. Zwiększenie tłumienia przy tej samej sile oznacza mniejszą amplitudę w pobliżu rezonansu. Odpowiedź jest mniej wybiórcza względem częstotliwości.

Dokładny model liniowy daje amplitudę A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}. Nie trzeba pamiętać go, by sprawdzić granice: przy Ω bliskim zera przesunięcie jest prawie statyczne F₀/k, a dla bardzo dużej Ω masa nie nadąża i amplituda maleje. Przy Ω = √(k/m) pozostaje A = F₀/(bΩ). Zerowe b nie opisuje wtedy skończonego stanu ustalonego.

Dla m = 1 kg, k = 100 N/m i F₀ = 1 N mamy ω₀ = 10 rad/s. Przy wymuszeniu właśnie 10 rad/s współczynnik b = 2 kg/s daje amplitudę 0,050 m, a b = 4 kg/s daje 0,025 m. Nie zmieniliśmy siły, tylko straty. Po wyłączeniu wymuszenia oba ruchy zaczną zanikać; energia nie jest podtrzymywana przez samą nazwę „rezonans”.

W idealnym liniowym układzie po zaniku stanu przejściowego częstotliwość drgań jest częstotliwością wymuszenia. Częstotliwość własna decyduje o amplitudzie i fazie, lecz nie zmusza ciężarka do ignorowania zewnętrznego rytmu.

Zadania do tego tematu

• Dwa kolejne spadki amplitudy
• Dlaczego mniejsze tłumienie daje wyższy szczyt rezonansu?
• Częstotliwość ruchu po ustaleniu wymuszenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny